Maximum de vraisemblance.

diegau
diegau
dans Statistiques
Bonjour,
je voudrais calculer le maximum de vraisemblance pour l'estimateur $\theta$ de la densité suivante.

$ (1- \lvert x - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x)$, afin de confirmer : $\widehat{\theta_{n}} = \overline{X_{n}}$ déterminé par la méthode des moments.

Cependant, je ne parviens pas au bout du calcul.
$l(\theta) = \sum \ln( (1- \lvert x_{i} - \theta \rvert) \mathbb{1}_{[\theta-1, \theta+1]} (x) )$
Et après il faut dériver cela ?

Réponses

  • marsup
    marsup
    Je suppose qu'on peut dériver et trouver le moment où $\ell'(\theta) = 0$, mais je ne vois pas trop comment ça marche. Il y a des termes avec des $+$, et d'autres avec des $-$.

    Par contre, on peut sans doute dire : $X = \theta + U_1 + U_2$, avec $U_1,U_2$ indépendantes uniformes sur $[-1/2;+1/2]$, et déduire le max de vraisemblance de $X$ en utilisant celui de $\theta/2 + U$ ?
  • diegau
    diegau
    Je ne vois pas comment faire avec ces indications. Par contre, j'ai trouvé cet estimateur avec le moment d'ordre 1, simplement avec l'espérance de cette loi
    Si le maximum de vraisemblance est une mauvaise idée, par quel autre moyen je pourrais confirmer ce résultat ?
  • marsup
    marsup
    Tu veux dire que tu n'es pas sûr que la moyenne empirique est l'estimateur du maximum de vraisemblance ?

    (parce que, moi, je n'en suis pas sûr, ça ne me crève pas du tout les yeux)
  • diegau
    diegau
    Oui je veux dire exactement cela. ça ne me crève pas les yeux non plus.
  • marsup
    marsup
    Bah peut-être que ce n'est pas le cas, tout simplement ?

    Si on prend la densité plus simple $1_{|x-\theta| \le \frac12}$, le max de vraisemblance est-il bien la moyenne empirique ?

    Je ne suis pas sûr, mais je n'ai pas le temps de vérifier maintenant.
  • marsup
    marsup
    Je me demande si le max de vraisemblance n'est pas plutôt la médiane ou un truc comme ça.
  • diegau
    diegau
    Comme j'ai trouvé que l'estimateur est égal à la moyenne empirique par la méthode des moments et que la seule autre méthode que je connais est le max. de vraisemblance, je voulais faire comme cela.
  • marsup
    marsup
    Il n'y a pas spécialement de raison pour que la méthode des moments donne l'estimateur du max de vraisemblance.

    Dans le cas présent, je pense que le max de vraisemblance n'a pas spécialement de formule fermée.
  • diegau
    diegau
    Quelle seconde méthode d'estimation consistante je pourrais effectuer alors ?
  • marsup
    marsup
    Ben, la moyenne empirique, c'est bien, comme estimateur, non ?

    Après est-ce que c'est l'estimateur du max de vraisemblance ; peut-être pas, mais bon... Tant pis, non ?

    Qu'est ce que tu aimerais avoir de plus, exactement ?
  • diegau
    diegau
    La question à laquelle je dois répondre est :

    proposer deux méthodes d'estimation consistantes du paramètre $\theta$.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    $\hat\theta'_n := \max(X_1,\dots,X_n)-1$ est autre estimateur qui a l'air consistant. Mais comme la densité de $X_1$ est maximale en $\theta$ et minimale en $\theta+1$, c'est probablement un moins bon estimateur que $\overline X_n$, donc ça n'est pas très intéressant.
  • marsup
    marsup
    Et puis la médiane empirique, ça marchera aussi.

    Peut-être que légèrement plus stable que le max de Calli, on peut regarder la moyenne entre le min et le max.

    Mais comme dit bien Calli, les valeurs extrémales de l'échantillon sont peu fiables, vu la forme de la densité.
  • diegau
    diegau
    Par quelle méthode détermine-t-on cet estimateur : $ \max(X_{i})-1$ ?
    Simple observation de la courbe ?
  • marsup
    marsup
    Pour trouver des estimateurs, on se débrouille !

    Les méthodes, c'est comme les coins à champignon : ça se dit pas ! :-D

    En gros, en statistiques, on utilise toujours un peu les mêmes trucs, en adaptant à la marge selon le contexte. Du coup, la méthode, c'est de connaître autant de trucs et astuces que possible, et des les tester un par un jusqu'à en trouver qui marchent...
  • diegau
    diegau
    Très bien - merci :-)
  • diegau
    diegau
    Bonjour,

    quand même, quelle interprétation intuitive peut-on donner de cet estimateur $\widehat{\Theta}'= \max(X_{i}) -1 $
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