Échantillonnage et proportion infime
dans Statistiques
Bonsoir à tous,
une question toute bête, existe-t-il des méthodes pour effecteur des échantillonnages portant sur des proportions infimes ?
Ma question est bien évidemment liée à l'actualité, imaginons qu'une affection touche 1 personne sur 1 million et que suite à une vaccination on constate que cette proportion est multipliée par 3 sur un échantillon de quelques millions. Dans quelle mesure peut-on considérer que cet écart est significatif ?
D'un point de vue naïf, si je considère un bête intervalle de confiance, je me retrouve avec une marge d'erreur de l'ordre de $10^{-3}$ et aurais donc tendance à considérer cet écart comme non significatif.
Et je vois du coup assez mal comment on peut analyser un tel échantillonnage. Même avec un échantillon de taille $10^9$ on se retrouve avec une marge d'erreur bien plus grande que la proportion observée...
Bonne soirée
F.
une question toute bête, existe-t-il des méthodes pour effecteur des échantillonnages portant sur des proportions infimes ?
Ma question est bien évidemment liée à l'actualité, imaginons qu'une affection touche 1 personne sur 1 million et que suite à une vaccination on constate que cette proportion est multipliée par 3 sur un échantillon de quelques millions. Dans quelle mesure peut-on considérer que cet écart est significatif ?
D'un point de vue naïf, si je considère un bête intervalle de confiance, je me retrouve avec une marge d'erreur de l'ordre de $10^{-3}$ et aurais donc tendance à considérer cet écart comme non significatif.
Et je vois du coup assez mal comment on peut analyser un tel échantillonnage. Même avec un échantillon de taille $10^9$ on se retrouve avec une marge d'erreur bien plus grande que la proportion observée...
Bonne soirée
F.
Réponses
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Si tu as $10^6$ patients dans ton échantillon, et que ta maladie vient avec proba $p = 10^{-6}$, alors le nombre de malades suit la loi de Poisson $P(1)$. Effectivement, c'est un peu délicat impossible d'écarter l'hypothèse nulle dans ce cas là si tu as obtenu 2 malades, car voici la fonction de répartition de $P(1)$
0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0.3679 0.7358 0.9197 0.981 0.9963 0.9994 0.9999
Tu avais 8% 26.5% de chances d'avoir 2 malades sans que la vaccination ait changé quoi que ce soit.
Par contre, si tu as 3 malades, c'est quand même presque net (moins de 2% 8% de chances !)
Maintenant, si tu as $10^7$ patients dans ton échantillon, et toujours $p=10^{-6}$, on a la loi de Poisson $P(10)$, dont la variance est $\sqrt{10} = 3$.
Donc si tu as 20 patients malades dans ton échantillon, tu es à plus de 3 écarts-type de la valeur attendue : il n'y avait que 0,16% 0,35% de chances d'en avoir autant !
-- Corrigé, j'avais mal lu mes fonctions de répartition ! -
En fait, ce qu'il faut bien comprendre, c'est que la variance pour la loi binomiale $B(n,p)$ est $np(1-p)$, donc si $p$ est petit, il ne faut pas la majorer par $\frac{n}{4}$, mais par $np$, qui est bien plus petit, donc ça donne des intervalles de fluctuation moins catastrophiques.
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Bien vu Marsup !
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Merci pour cette intéressant réponse...du coup, je comprends mieux pourquoi cette loi s'appelle loi des évènements rares ;-)
Bonne soirée
F.
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