Intervalle de confiance : normale / student ?

Bonjour à tous,

Je bloque depuis un moment sur les conditions d'application des intervalles de confiance. En fonction des sources, je trouve des conditions très différentes et je n'ai pas les connaissances nécessaires à la compréhension des preuves dans le domaine des statistiques inférentielles et je n'arrive donc pas à départager les bonnes conditions de celles qui sont erronées.

Il me semble qu'une condition importante est que la moyenne empirique suivent une loi normale et que ceci est garanti suivant deux conditions :
- le caractère étudié sur la population suit une v.a. gaussienne (il s'agit alors d'une conséquence de la stablilité de la normalité par combinaison linéaire) ;
- les échantillons considérés sont de tailles supérieures ou égales à 30 (il s'agit alors d'une conséquence du TCL).

Si bien que l'on peut proposer, sous ces conditions, comme intervalle de confiance à 95%, le traditionnel :
$$\left[\overline{x}_n-1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} ; \overline{x}_n+1,96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right],\tag{$\star$}
$$ où $\overline{x}_n$ désigne une réalisation de la moyenne empirique.

Mes problèmes viennent ensuite car c'est essentiellement là que je trouve des conditions très variées d'application...

Comme on ne connaît pas $\sigma$, on le remplace par une estimation. Je crois comprendre qu'il est préférable d'utiliser alors l'écart-type corrigé $s_n^{corr}$plutôt que l'écart-type. Mais alors la moyenne empirique centrée réduite $\dfrac{\overline{X}_n-\mu}{\frac{s_n^{corr}}{\sqrt{n}}}$ ne suit plus une loi normale mais une loi de Student et on remplace alors le coefficient 1,96 dans l'intervalle de confiance par le coefficient correspondant dans la loi de Student (par exemple 2,045 pour un échantillon de taille 30) et $\sigma$ par $s_n^{corr}$.

Si jamais ce qui précède n'est pas erroné, je me demandais si les conditions d'application demeuraient les mêmes (le caractère étudié sur la population est gaussienne ou $n\geq 30$) ou si l'on pouvait l'appliquer à des échantillons petits et des distributions non normales (c'est ce que j'ai parfois lu mais j'ai des doutes...).

Enfin, pour des échantillons grands ($n\geq 30$) et une population non distribuée normalement certains auteurs remplacent simplement $\sigma$ dans la formule $(\star)$ par l'écart-type empirique standard $\sigma_n$ en laissant le $1,96$. Est-ce vraiment licite car cela permet dans ce cas un gain de précision appréciable par rapport à la loi de Student ?

Désolé d'avoir été long... Merci d'avance de vos réponses.