Aide calcul déviance du modèle de Poisson

Bonjour à tous, je me permets de solliciter votre aide pour un calcul sur lequel je coince un petit peu. J'essaie de calculer la déviance du modèle de Poisson mais je coince et j'ai du mal à retrouver le résultat attendu.
Voici les éléments dont je dispose.

On observe des variables aléatoires indépendantes $Y_{1},\ldots,Y_{n}$ de loi de Poisson. On
suppose que pour tout $i \in \{1,\ldots , n\}$ : $E(Y_{i}) = \exp{(\beta_{1} + \sum\limits_{j=2}^{n} \beta_{j}x_{i j})}$ et on a la relation suivante : $E(Y_{i}) = \exp{(x_{i}\beta)}$.
J'ai calculé la vraisemblance notée $L$ ici et j'obtiens : $L = -\sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}x_{i}\beta - \exp{x_{i}\beta} - \ln(y!).$
Et la log vraisemblance maximale qui en découle est donnée par : $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}(y_{i}-\exp{x_{i}\beta})$
D'où la déviance donnée par : $2[ \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}(y_{i}-\exp{x_{i}\beta}) - \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}(y_{i}-\exp{x_{i}\widehat{\beta}}) ].$

J'espère que j'ai été clair et que vous pourriez m'expliquer ce que j'ai du mal à voir et mes erreurs éventuelles.
Cordialement à vous.