Application théorème de Bayes ...

Matth_S · December 2006

Titre initial Application théorème de Bayes au diagnostic avec plusieurs signes

Bonjour,

Je suis en train de travailler sur un système de calcul de la probabilité d'un diagnostic en fonction de la présence ou non de signes, selon le theoreme de Bayes. Dans le cas d'un seul signe, c'est très simple, car j'ai besoin de peu de données, par exemple :
Maladie : Méningite, P(M) = 0,001 (chiffre arbitraire pour l'exemple)
Signe : Mal de tête, P(S)=0,1
Probabilité d'avoir mal à la tête si on a une méningite : P(S/M) = 0,9
D'ou P(M/S) = P(M) * P(S/M) / P(S) = 0,09
Jusque la aucun problème, il est facile de se procurer cee type de données et il suffit d'appliquer le théorème de Bayes.

La difficulté est que je souhaite faire ça avec plusieurs signes, pour envisager ensuite la probabilité résultante en fonction de la présence ou non de chacun des signes.
Je reprends mon exemple précédent mais en lui ajoutant un autre signe
Maladie : Méningite, P(M) = 0,001
Signe 1 : Mal de tête, P(S1) = 0,1
Signe 2 : Nuque raide, P(S2) = 0,02
On peut connaitre P(S1/M) et P(S2/M)
Je peux donc à partir de là appliquer le théorème de Bayes pour chacun de signes indépendament ; mais ce que je voudrais faire c'est l'appliquer pour les différentes combinaisons de signes, par exemple, quelle est la probablité d'avoir une méningite sachant qu'on a mal à la tête et qu'on a la nuque raide.
Si je ne me trompe pas, je vais exprimer ça de la manière suivante :
P(M/S1 ET S2)=P(M) * P(S1 ET S2/M) / P(S1 ET S2)

Mais le calcul me parait impossible car il faudrait que je connaisse P(S1 ET S2), c'est à dire la probabilité d'avoir mal à la tête et la nuque raide indépendament de toutes maladies !

Je ne sais pas si j'ai réussi à exprimer correctement ce que je souhaitais faire et quel était mon problème. En fait je voudrais pouvoir calculer P(M/S1 ET S2)
alors qu'il me manque certaines données comme P(S1 ET S2) ; existe-t-il une approximation possible ? Connaissez vous un autre moyen ?

Merci !

[Matth_S : pour une bonne lisibilité de la 1ère page du forum, évite les titres trop longs. AD]

Aleg · December 2006

ta question est très claire, mais je n'ai pas a priori de réponse générale.

Par contre, c'est faisable si on peut supposer que les événements $S_1$ et $S_2$ sont indépendants entre eux (ie $p(S_1\cap S_2)=p(S_1)\times p(S_2)$), mais je ne sais pas si c'est le cas dans le contexte dont tu parles.

Matth_S · December 2006

Merci pour ta réponse !
Si je pars du principe que les signes sont indépendants, je connais donc
P(S1 ET S2), par contre qu'en est il de P(S1 ET S2 / M) ; est ce que j'ai moyen de la calculer à partir de P(S1) , P(S2) , P(S1/M) et P(S2/M) ?

Chy0 · February 2007

Un accident s'est produit.
Quelle est la probabilité pour que le conducteur soit ivre?
On sait que le conducteur sobre a une chance sur 1000 de provoquer un accident;
une chance sur 50 s'il est ivre.
On admet qu'un conducteur sur 100 est ivre.

Koniev · February 2007

Bonjour
PS = proba qu'un conducteur sobre cause un accident = 1/1000
PI = proba ivre = proba qu'il soit ivre x proba qu'il cause un accident soit 1/100 x 1/50 = 1/5000
Un accident vient de se produire la proba que le responsable soit ivre est
(1/5000) / (1/5000 + 1/1000) = 1/6 = 0.167

Sans utiliser les probas composées en supposant une population de 1 000 000 qui contient donc 10 000 ivres et 990 000 sobres. Les sobres causeront 990 000 x 1/1000 = 990 accidents et les ivres 10 000 x 1/50 = 200
La proba qu'un accident soit causé par un ivre est 200/(200+990) = 0.168
Koniev

AÏM0 · March 2007

j'aimerais connaître l'importance du théorème en médecine et je voudrais bien avoir toutes ses applicatins dans les domaines autres que la médecine; merci.

augustin1 · March 2007

J'ai bésoin des applications du théorème de Bayes.

GERARD · March 2007

Bonjour Aïm et Augustin.

Pour des questions aussi vastes, je vous conseille d'acheter (ou emprunter dans une bibliothèque universitaire) un bouquin sur les méthodes bayésiennes. De Saporta, par exemple.

Cordialement.

NB : Pour des questions précises, le forum est utile.