Variance et espérance de la loi de Student

Tu divises cette loi par un terme qui tend en probabilité vers 1(le rapport de de la variance estimée sur la vraie variance inconnue).
Donc en définitif, t'es toujours centré et plus le degrés de liberté est grand plus la variance tend vers 1.

Voilà déjà l'intuition pour la variance et la démonstration pour la moyenne.

Tu peux aussi dire qu'en remplaçant la variance par la variance estimée, tu vise toujours juste donc sur 0 mais qu'il y a plus d'aléa donc variance plus grande sauf si tu est à N super grand.

T'as plein de livres de statistique/probabilité qui démontrent tout cela.
Va faire un tour dans une bibliothèque universitaire, tu trouveras plein de truc.

La loi de Student d'ordre $n>2$ est celle de $U=\sqrt{n}X/Y$ avec $X\sim N(0,1)$ indépendante de $Y$ qui suit une loi de chi deux à $n$ degrés de liberté. Comme $X\sim -X$ on a $U\sim -U$ et donc $\mathbb{E}(U)=0.$ Pour $\mathbb{E}(U^2)$ on observe que $U^2/n=2X^2/2Y^2$ et que $R=2X^2$ et $S=2Y^2$ sont indépendantes et de lois gamma standard de paramètres $a=1/2$ et $b=n/2$. Cela entraîne que leur quotient $Q=R/S$ suit une loi beta de seconde espèce sur $(0,\infty)$, c'est à dire
$$\beta^{(2)}_{a,b}(dq)=\frac{1}{B(a,b)}\frac{q^{a-1}}{(1+q)^{a+b}}dq.$$
On le voit par exemple par un calcul du jacobien de $(r,s)\mapsto (r+s,r/s).$ Enfin $\mathbb{E}(Q)=\frac{B(a+1,b-1)}{B(a,b)}=\frac{a}{b-1}$ et donc $\mathbb{E}(U^2)=n/(n-2).$