Fonction mesurable

Avant de parler de fonctions mesurables et de mesures il faut d'abord parler de tribu ou de sigma algèbre (c'est la même chose).
Ce sont des familles d'ensembles verifiant certaine propriété
(Je te laisse voir wikipedia par exemple)

Si on se donne deux espaces chacun muni d'une tribu, les fonctions mesurables sont les fonctions pour lesquelle à l'image réciproque d'un ensemble de la tribu de l'espace d'arrivée correspond un élément de la tribu de l'espace de départ.
C'est un peu l'analogue de la continuité ( remplace topologie par tribu et les définitions sont les mêmes)

Les mesures sont des fonctions sur des familles d'ensembles en général des tribus qui ont la propriété sympathique d'être sigma additive ( Je te laisse encore une fois aller sur les net pour les définitions), à partir de là on peut définir ce qu'est l'intégrale d'une indicatrice d'un élément de la tribu qui est la mesure de cet ensemble. Et à partir de ces fonctions simples on défini des intégrales de fonctions plus compliquées pour arriver aux intégrales de fonctions mesurables.

Quand on prend la mesure de Lebesgue sur $\R$ et la tribu associée, on retrouve l'intégrale de Riemann pour certaines fonctions ( les fonctions absolument Riemann intégrable) mais toutes les fonctions Riemann intégrable ne sont pas Lebesgue intégrable et vice et versa il y a des fonctions Lebesgue Intégrable qui ne sont pas Riemann intégrables)

J'ai fait plein de raccourcis et tout ce que j'ai écrit n'est pas très rigoureux mais la philosophie d'ensemble est là je pense. Après il ne tient qu'à toi de prendre un bouquin de théorie de la mesure. Et de réfléchir

a+

En pratique, disons que seul un mathématicien peut construire un contre-exemple débile de fonction non-mesurable $f \colon {\bold R} \to {\bold R}$.

Ce qui est plus intéressant à savoir, c'est que dire que $Y$ est une variable aléatoire mesurable par rapport à la tribu $\sigma(X)$ engendrée par une variable aléatoire $X$ signifie que $Y=h(X)$ pour une certaine fonction $h$ (mesurable).

Si tu médites un peu cela, ça te suffira pour le master de stats.

Par exemple en stats, on suppose que les données $x_1$, $\ldots$, $x_n$ qu'on observe sont la réalisation d'une variable (ici, un vecteur) aléatoire $X=(X_1, \ldots, X_n)$. Une \emph{statistique de test} est définie comme étant une variable aléatoire $T$ mesurable pour la tribu $\sigma(X)$. En pratique, cela ne signifie rien d'autre que tu as une `formule' (une fonction $h$ telle que $T=h(X)$) pour calculer $T$ à partir des variables aléatoires observables $X_1, \ldots, X_n$.

selon es theoremes de l'integraion ona
soit omega1 et omega2 deux espace topologique ona toutes fonction continue est est B(OMEGA1)/B(omega2) mesurable