Justification de la variance

d'où vient la formule de la variance ?

Bon, je ne te réponds pas sur le plan de l'histoire que je connais pas (et la variance je la connais à peine en plus lool)

Mais la moyenne "bêtement" c'est "par quoi remplacer chaque donnée" de manière à avoir le même total mais avec toujours la même donnée.

La variance est un peu plus psychanalytiquement mystérieuse, car elle réfère à tout plein de mondes parallèles : en fait pense à 2 données. Il faut que tu considères tes données comme vivant dans des mondes séparées et non pas le même monde. "Séparés" en fait, c'est "orthogonal". Même si on les dessine sur un papier, en fait il faudrait les dessiner dans un espace et mettre une donnée par dimension (bon t'imagine l'acrobatie mentale). Avec 2 données, ça te donne le carré de l'hypoténuse, ça te rappelle rien. Et dans le cas général, c'est pareil. Ca vient du théorème de Pythagore. L'écart-type te donne la longueur de l'hyper-hypoténuse".

Par contre, pour que ça ait ce sens profond, il faut penser à une notion de variance à propos de répartitions dans des mondes parallèles (et même orthogonaux et qui n'interfèrent pas). Le réimporter (et que ça ait du sens) pour une liste de tailles d'individus dans une même population, franchement, c'est typique des stats (qui s'inspirent des probas) mais ça pose comme pétition de principe l'ultrahyper réincarnation (chaque individu de la population serait "une réincarnation" du même individu dans différents mondes, les individus pouvant être des hommes des chats ou des tables).

Sinon, oui, vue son côté Pythagore, il se trouve (théorème) qu'il y a des phénomènes de minimums reliés à ça.

Bonjour,
gerard0 écrivait:

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> Bonjour.
>
> La variance ....
> ... est simple à calculer;

Simple question à cent sous, comment fait une petite calculette ou un grand calculateur à la main pour calculer la variance ?
Je crois que c'est effectivement là la réponse.
Alors que le calcul d'un écart en valeur absolue demanderait le stockage de toutes les données, le calcul de la variance ne requiert que trois accumulateurs, si je me souviens bien :
- le nombre d'échantillons,
- la somme pondérée,
- la somme des carrés pondérés.
On arrête quand on veut et Koenig fait le reste.

Bonjour.

Pour éclairer la question de MaxWeber et les réponses :
" - Pourquoi fait-on ce calcul-ci et pas celui-là ?
" - Parce qu'on sait le faire, contrairement à ce calcul-là."

C'est la réalité des maths. Il y a de nombreuses choses qu'on fait, mais de plus nombreuses encore qu'on ne peut pas faire ou qu'on ne sait pas faire.

Cordialement.

christophe chalons écrivait:

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> Si c'est vrai, ça m'impressionne (je n'ai pas
> vérifé)...
En effet, j'ai plus qu'un doute !

Bon faut que j'aille manger, mais je crois Gérard (je le sais prudent), donc je confirme, je suis impressionné et je vérifierai (y a quelques calculs à regarder en détails) ça après, mais c'est assez mystique comme réalité, franchement. (tu)

Pour le coup, ça relèguerait presque la variance au rang des définitions odieusement conformistes.

Effectivement, AD,

mon explication était loin d'être claire !
J'ai essayé de trouver une justification à cette propriété que je connais depuis au moins 20 ans, dont j'ai vu des preuves (différentes de ce que j'ai écrit). Mais bien évidemment, la dérivée n'a de sens que pour c différent des $x_i$ et maintenant que ça commence à s'éclaircir, je vois qu'il suffisait de dire que la courbe de $nJ(c)$ est affine par morceaux et décroît jusqu'à la valeur médiane (ou celle immédiatement avant si un cumul des effectifs de classes peut faire $50 \%$) et croît ensuite (ou à partir de la valeur suivante).

Cordialement.

Bon,

j'essaie d'être plus sérieux dans la rédaction de la preuve. On note m la médiane des n valeurs $x_1$, $x_2$, $x_3$, ...$x_n$, supposées rangées dans l'ordre croissant. Si n est impair (cas 1), alors $\displaystyle m=x_{\frac{n+1} 2}$. Si n est pair, alors, si $\displaystyle x_{\frac{n} 2}=x_{\frac{n} 2+1}$ (cas 2) on a $\displaystyle m=x_{\frac{n} 2}$, et si $\displaystyle x_{\frac{n} 2}<x_{\frac{n} 2+1}$, m est n'importe quel nombre choisi dans $\displaystyle [ x_{\frac{n} 2};x_{\frac{n} 2+1}]$ (cas 3).

On considère ensuite la fonction $\displaystyle J(c) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \vert x_i-c\vert$ et comme on veut la minimiser, on prend $\displaystyle K(c) =n J(c) = \sum_{i=1}^n \vert x_i-c\vert$.
Soit $ k$ le nombre des $ x_i$ qui sont inférieurs à $ c$ et $ \ell$ le nombre de ceux qui sont égaux à $ c$ :
$\displaystyle K(c) = \sum\limits_{i=1}^k (c- x_i) + \sum\limits_{i=k+l+1}^n ( x_i-c)$. C'est une fonction affine par morceaux, dérivable lorsque c n'est pas un $x_i$ ($ \ell=0$). La dérivée vaut $ k -(n-k)=2k-n$.
Si c<m, alors :
cas 1 : $\displaystyle x_{\frac{n+1} 2}$, $\displaystyle x_{\frac{n+1} 2+1}$, $\displaystyle x_{\frac{n+1} 2+2}$, ...$x_n$ sont tous supérieurs à c, donc $k <\frac n 2$ et la dérivée est négative.
cas 2 : $\displaystyle x_{\frac{n} 2}$,$\displaystyle x_{\frac{n} 2+1}$, ... $x_n$ sont tous supérieurs à c, donc $k <\frac n 2$ et la dérivée est négative.
cas 3 : Si $\displaystyle c < x_{\frac{n} 2}$, on est dans la même configuration que pour le cas 2 et la dérivée est négative, et si $\displaystyle c \geq x_{\frac{n} 2}$ la dérivée est nulle (c est entre $ x_{\frac{n} 2}$ et $ x_{\frac{n} 2+1}$).
On fait le même raisonnement pour $c>m$.
Finalement, la fonction K, continue, est décroissante sur $]-\infty, m[$ et croissante sur $]m, +\infty[$. Elle est bien minimale pour $c=m$.

Cordialement.

Braun,

effectivement, la notion de médiane statistique n'est pas parfaitement définie ... tout simplement parce que ça n'interpelle pas vraiment le statisticien descriptif : Les séries véritablement utilisées ont des effectifs importants et soit de nombreuses valeurs, soit des classes de valeurs centrales plutôt conséquentes. Le cas que j'ai noté 3, pour lequel la médiane n'est pas spécifiquement définie est rare, et soit sans intérêt (savoir que la médiane des salaires en France est 1893,27 € ou 1893,28 € n'a pas un gros intérêt), soit fait perdre l'intérêt de la médiane ("La moitié des foyers de la ville de X comporte au plus un enfant, l'autre moitié en a au moins 2" est plus utile que de dire "médiane 1,5").
Cette notion de médiane est très "pratico-pratique", et peu mathématisée par manque d'utilité de mathématiser plus. Pour les grosses séries actuelles, avec un grand nombre de valeurs, souvent assez proches, on emploie souvent dans ce cas 3 la valeur $ \displaystyle x_{\frac{n} 2}$ comme médiane plutôt que la moyenne avec la suivante, pour être sur qu'il s'agit d'une valeur qui a un sens.

Cordialement.

Et bien merci, vous mâchez le travail aux lecteurs, c'est sympa.

Milamber,

ta réaction est une réaction de "spécialiste". Surpris que d'autres ignorent ce qu'il connaît parfaitement. J'y suis d'autant plus sensible que je viens d'en être victime ("Tu ne fais pas beaucoup d'efforts" en réponse à une question de signification).
Les statistiques élémentaires sont un monde inconnu de nombreux matheux, même jeunes.

De plus "la médiane est la machin qui minimise la somme des écarts" est un peu faux car il peut ne pas y avoir unicité. Et ça ça gêne beaucoup certains.

Cordialement.

Bonjour
Il y a plusieurs moyennes : arith, géom ... comme plusieurs écarts.... chacun peut en trouver d'autres et élaborer des conséquences statistiques qui rejoindrons celles connues. Mais elles seront plus longues à calculer ainsi que leurs con séquences. C'est ce qui s'est passé. Le 1er écart proposé a été arith mais le signe + ou - a été gênant on a alors élevé au carré pour n'avoir que des écarts >0, et ainsi de suite.
Cordialement
Koniev