intervalle de fluctuation

Bonjour.

Lucas, il faut interpréter l'intervalle comme un intervalle de sureté : L'intervalle contient la fréquence avec une probabilité au moins égale à $95\%$.

Cirdec : Ce que tu dis ressemble de très près aux programmes de seconde s'il y a quelques années (est-ce encore dans les programmes actuels ? je ne les connais pas précisément) à propos de la fluctuation d'échantillonnage. Malheureusement c'est faux. Par contre, pour des échantillons de l'ordre de 50 ou plus, pas de problème : l'erreur vient d'une double (voir triple) approximation qui ne compense pas complétement : majoration de l'écart type et approximation par une loi Normale.
L'idée la plus utile en pratique est que $\displaystyle |f-p| < \frac 1 {\sqrt n}$, car en général, p est inconnu (sauf théorisation mathématique), alors que p est facile à obtenir.
Autre problème : Cette formule est fausse si l'échantillon n'est pas très faible par rapport à la taille de la population. Si on a 100 individu et qu'on en teste 25, inutile d'utiliser cette règle (*). Par contre si on teste 100 individus pris au hasard parmi un million, plus de souci.

Cordialement.

(*) la loi hypergéométrique ne s'approxime pas correctement par une loi Normale, dans ce cas.

Pas de problème :

Ok pour la loi binomiale pour un tirage avec remise. Par contre, tu parlais d'un échantillon de taille n d'une population, ce qui correspond à un tirage sans remise. Pour l'échantillon, la loi n'est pas la loi binomiale, mais la loi hypergéométrique. Si l'échantillon est très petit par rapport à la population, on peut approximer la loi hypergéométrique par une loi binomiale (intuitivement, le fait de ne pas remettre change trop peu la probabilité de tirage pour qu'on en tienne compte).

Par contre, "l'intervalle [p - 1,96* racine(p(1-p) /racine(n) ; p + 1,96* racine(p(1-p) /racine(n) ]" correspond à l'utilisation d'une loi Normale, c'est à dire à l'approximation de la loi binomiale, approximation qui n'est valable que pour de grands échantillons. La valeur de 25 des programmes de seconde est trop faible, et on peut montrer que dans certains cas, la probabilité d'être dans l'intervalle est inférieure à 95 %. Mais dès qu'on dépasse 30, ce n'est plus le cas, si je me souviens bien.

La règle "p(1-p) <= 1/4" est facile à prouver, valable pour toute valeur de p (étudier les variations de p(1-p) en fonction de p. La condition 0,2<p<0,8 n'est là que pour assurer qu'on a un intervalle "raisonnable", car l'application de la règle pour p proche de 0 donne un intervalle en partie négatif (gênant pour une proportion) et trop grand dans les positifs.

Cordialement.

Mais d'un point de vue pédagogique, il est pratique d'utiliser peu de valeurs, donc de ne pas se formaliser : On est quand même proche du bon ordre de grandeur.

Bonjour,

je me permets de déterrer ce fil car j'aimerais savoir quelles sont les hypothèses précises pour que l'inégalité $\vert f-p\vert <\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ soit vérifiée.
Merci d'avance.

Bonjour,
A la suite d'une conjecture émise par un collègue, Louis-Marie Bonneval de l'académie de Poitiers, a été démontré, me semble-t-il par Daniel Saada, qui fréquente de temps en temps le forum, le fait que la probabilité que $f$ soit comprise entre $p - \frac {1} {\sqrt{n}}$ et $p + \frac {1} {\sqrt{n}}$ est d'au moins $90 \%$ quel que soit $n$.
On y parvient par des encadrements assez fins sur les coefficients binomiaux. Si Daniel Saada passe par ici, il pourra en dire plus.
Bien cordialement,
Christian

Bonjour,
Quelques précisions sur le site suivant, que je viens de retrouver sur mon ordinateur:
http://www.apmep-aix-mrs.org/bulletin/num11/maillard.htm
Bien cordialement,
Christian