P-Glivenko Cantelli...

Comme le dit Steven, si on ne s'intéresse qu'à des v.a. à valeurs réelles comme $\mathbb{P}_n f$, pas de problème de mesurabilité. N'empêche que la question de SXB est intéressante, même si elle mal posée :

SXB a écrit:

Je veux dire...une application à valeur dans un ensemble de mesures de proba, est-ce mesurable?

Pour pouvoir se poser cette question, il faut d'abord avoir défini une tribu sur l'ensemble $\mathcal{P}$ des mesures de probabilité sur un espace mesurable $(E,\mathcal{E})$. En général, on choisit la tribu engendrée par les applications d'évaluation $e_A \, : \, \mathcal{P} \to \R, \, \mathbb{P} \mapsto \mathbb{P}(A)$, où $A$ décrit $\mathcal{E}$.

Je pense que SXB saura montrer que :
- la mesure empirique $\mathbb{P}_n$ est mesurable pour cette tribu ;
- pour cette tribu, l'application $e_f \, : \, \mathcal{P} \to \R, \, \mathbb{P} \mapsto \mathbb{P} f$ est mesurable, pour toute fonction $f$ $\mathcal{E}$-mesurable positive ou bornée.