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Définition d'un score ?...

Envoyé par SXB 
SXB
Définition d'un score ?...
il y a huit années
Bonjour : petit souci avec la définition d'un score :

Le fait qu'il soit de carré intégrable et que son espérance soit nulle fait-il partie de sa définition ?

Merci d'avance.
Gérard Letac
Re: Définition d'un score ?...
il y a huit années
Le silence des forumeurs montre que ta question a besoin de clarification... La seule fois o\`u j'ai entendu le mot score est dans le contexte d'un mod\`ele de Fisher: On se donne un espace mesuré $(\Omega,\nu)$ un ouvert $\Theta$ de $\mathbb{R}^n$ et des probabilités sur $\Omega$
$P_{\theta}(dw)=e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)$ indexées par $\theta\in \Omega.$ Le mod\èle $\{P_{\theta}(dw); \theta\in \Theta\}$ est de Fisher si $ \ell_{w}(\theta)$ est de classe $C^2(\Theta)$ avec quelques propriétés par rapport \`a $w$ d'intégrabilité un peu minutieuses \`a détailler. Le fait que
$$1=\int_{\Omega}P_{\theta}(dw)=\int_{\Omega}e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)$$ entra\^ine par dérivation que
$$0=\int_{\Omega}\ell'_w{\theta}e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)=\int_{\Omega}\ell'_w{\theta}P_{\theta}(dw)$$ c'est \`a dire que l'espérance
par rapport \`a $P_{\theta}$ du gradient $\ell'_w{\theta}$ est nulle. Ce vecteur $\ell'_w{\theta}$ est appelé le score. En dérivant une seconde fois on obtient
$$0=\int_{\Omega}(\ell'_w{\theta}\otimes \ell'_w{\theta}+\ell''_w{\theta})P_{\theta}(dw)$$ et donc les deux matrices $\int_{\Omega}\ell'_w{\theta}\otimes \ell'_w{\theta}P_{\theta}(dw)$ et $-\int_{\Omega\ell''_w{\theta}P_{\theta}(dw)$ coincident. Leur valeur commune est appelée matrice d'information de Fisher.


Cher modérateur, impossible de localiser ma faute de latex. Peux tu m'aider? Merci \`a l'avance.
Re: Définition d'un score ?...
il y a huit années
[Gérard : il manquait une accolade fermant dans la dernière expression LaTeX ; je me suis permis de corriger un lapsus ("indexées par $\theta \in \Theta$" au lieu de "$\theta \in \Omega$" ; eg.]

Le silence des forumeurs montre que ta question a besoin de clarification... La seule fois o\`u j'ai entendu le mot score est dans le contexte d'un modèle de Fisher: On se donne un espace mesuré $(\Omega,\nu)$ un ouvert $\Theta$ de $\mathbb{R}^n$ et des probabilités sur $\Omega$,
$P_{\theta}(dw)=e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)$ indexées par $\theta\in \Theta$. Le modèle $\{P_{\theta}(dw); \theta\in \Theta\}$ est de Fisher si $ \ell_{w}(\theta)$ est de classe $C^2(\Theta)$ avec quelques propriétés par rapport \`a $w$ d'intégrabilité un peu minutieuses à détailler. Le fait que
$$1=\int_{\Omega}P_{\theta}(dw)=\int_{\Omega}e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)$$ entraîne par dérivation que
$$0=\int_{\Omega}\ell'_w{\theta}e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)=\int_{\Omega}\ell'_w{\theta}P_{\theta}(dw)$$ c'est \`a dire que l'espérance
par rapport à $P_{\theta}$ du gradient $\ell'_w{\theta}$ est nulle. Ce vecteur $\ell'_w{\theta}$ est appelé le score. En dérivant une seconde fois on obtient
$$0=\int_{\Omega}(\ell'_w{\theta}\otimes \ell'_w{\theta}+\ell''_w{\theta})P_{\theta}(dw)$$ et donc les deux matrices $\int_{\Omega}\ell'_w{\theta}\otimes \ell'_w{\theta}P_{\theta}(dw)$ et $-\int_{\Omega}\ell''_w{\theta}P_{\theta}(dw)$ coincident. Leur valeur commune est appelée matrice d'information de Fisher.


Cher modérateur, impossible de localiser ma faute de latex. Peux tu m'aider? Merci à l'avance
Gerard Letac
Re: Définition d'un score ?...
il y a huit années
Merci Egorovski. Je corrige encore ce que j'avais écrit, peu lisible avec l'oubli des parenth\`eses et je compl\`ete au sujet des scores.



La seule fois o\`u j'ai entendu le mot score est dans le contexte d'un modèle de Fisher: On se donne un espace mesuré $(\Omega,\nu)$ un ouvert $\Theta$ de $\mathbb{R}^n$ et des probabilités sur $\Omega$,
$P_{\theta}(dw)=e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)$ indexées par $\theta\in \Theta$. Le modèle $\{P_{\theta}(dw); \theta\in \Theta\}$ est de Fisher si $ \ell_{w}(\theta)$ est de classe $C^2(\Theta)$ avec quelques propriétés par rapport \`a $w$ d'intégrabilité un peu minutieuses à détailler. Le fait que
$$1=\int_{\Omega}P_{\theta}(dw)=\int_{\Omega}e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)$$ entraîne par dérivation que
$$0=\int_{\Omega}\ell'_w(\theta)e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)=\int_{\Omega}\ell'_w(\theta)P_{\theta}(dw)$$ c'est \`a dire que l'espérance
par rapport à $P_{\theta}$ du gradient $\ell'_w{\theta}$ est nulle. Ce vecteur $\ell'_w(\theta)$ est appelé le score. En dérivant une seconde fois on obtient
$$0=\int_{\Omega}(\ell'_w{\theta}\otimes \ell'_w(\theta)+\ell''_w(\theta)P_{\theta}(dw)$$ et donc les deux matrices $\int_{\Omega}\ell'_w(\theta)\otimes \ell'_w(\theta)P_{\theta}(dw)$ et $-\int_{\Omega}\ell''_w(\theta)P_{\theta}(dw)$ coincident. Leur valeur commune est appelée matrice d'information de Fisher.

Ce score est un bon objet. Il a un caract\`ere naturel dans le sens suivant: il ne dépend que du mod\`ele $\{P_{\theta}(dw); \theta\in \Theta\}$ et non de la représentation particuli\`ere $P_{\theta}(dw)=e^{\ell_{w}(\theta)}\nu(dw)$. En effet, si on remplace la mesure de référence $\nu$ par une autre, disons $\nu_1$, forcément absolument continue par rapport \` a $\nu$ alors $\ell_w(\theta)$ est changé en $\ell_w(\theta)+\log f(w)$ avec $f=d\nu/d\nu_1.$ Toutefois, le score $\ell'_w(\theta)$ est inchangé puisque $\log f(w)$ est constante par rapport \`a $\theta.$
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