propriété des écarts-types

domitille · April 2013

Dans les propriétés des écarts-types, les exemples s'arrêtent toujours à l'intervalle -3 écarts types/+ 3 écarts types, qui contient 99% de la population.
Y a-t-il une formule qui permette de savoir quel pourcentage de la population se situe entre -4 et + 4 et -5/+5 etc ?
Merci
Domitille

Christian Vassard · April 2013

Bonjour
Va voir du côté de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev: http://fr.wikipedia.org/wiki/Inégalité_de_Bienaymé-Tchebychev
Bien cordialement,
Christian

domitille · April 2013

Je vous remercie d'avoir répondu mais je n'ai pas pensé à préciser que ne suis pas mathématicienne ni étudiante en statistiques.
Je suis juste quelqu'un qui cherche la signification concrète des résultats de tests qui donnent "- 4 écarts types ou même - 10 écarts types"
Je sais que 99% de la population est dans l'intervalle -3 écarts types et + 3 écarts types et je voudrais savoir quel pourcentage de la population se situe dans les autres intervalles.
Je comprends maintenant, après être allée sur Wikipédia, qu'une formule ne m'informera pas car je ne sais qu'en faire.
Pouvez-vous seulement me dire le pourcentage de la population pour deux ou trois intervalles plus grands que -3/+3 écarts types ?

Merci
Domitille

FELIX1 · April 2013

Bonjour,

Tu as dû trouver sur Wiki des tables.
Cela répond à ta question par lecture quasi-directe, ou par des calculs simples, selon la présentation de la table.

Par exemple pour 3 on voit 0,99865.
Cela signifie que de moins l'infini à 3 on a 99,865 % de la population.
Donc qu'il manque 0,135 %
Par symétrie il en manque autant en dehors de l'intervalle de -3 à + l'infini.
Il en manque donc le double en dehors de [-3,+3], soit 0,27 %
Ce qui signifie qu'à 3 écarts-types de part et d'autre de la moyenne on trouve plus précisément 99,73 % de la population.

On peut faire les mêmes calculs pour n'importe quelle distance en écarts-types, comme tu le souhaites.

Il existe des présentations différentes, qui donnent la réponse plus vite.
J'ai pris celle de wiki puisque tu parles d'elle.

Bonne journée.

gerard0 · April 2013

Pour préciser ce que disent Félix et Christian :

Si la population est gaussienne, on peut utiliser les tables de la loi Normale qu'évoque Félix. Elles vont rarement au delà de 4 ou 5, car les "queues de distribution" sont très faibles. Mais il existe des approximations classiques fiables.
"je sais que 99% de la population est dans l'intervalle -3 écarts types et + 3 écarts types " est généralement faux, mais valide pour une population gaussienne.

Si on ne sait rien de la distribution, il ne reste que des minorations peu agréables, comme celle donnée par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Elle permet d'assurer que 8/9 de la population est dans "l'intervalle -3 écarts types et + 3 écarts types ". On est loin des 99% !

Donc Domitille, il est difficile de répondre sainement à ta question. Par contre si tu fais souvent le même genre de test, explique de quoi il s'agit, et on pourra essayer d'éclaircir la situation.

Cordialement.

domitille · April 2013

Je suis un particulier qui comprend ce qu'est une distribution gaussienne et sait ce qu'est un écart type mais qui n'a qu'une culture mathématique de base.
je ne sais pas ce que représentent les alpha, mu ( je sais lire le grec mais ça me fait une belle jambe :-), p et autres n qui constituent les formules ou émaillent les tableaux.

Ma question porte sur des résultats de tests (sciences humaines), dans le cas d'une distribution gaussienne ( d'ailleurs, je croyais qu'on ne pouvait parler d'écarts types que dans ce cas là, encore une idée fausse que je me faisais...).
les résultats s'expriment parfois par: - 4; -5, et même -10 écarts types (j'arrondis, parce qu'en fait c'est , par exemple 4,32 écarts types).

Comme j'ai lu que , en cas de courbe de gauss, 99% de la population se trouvait dans l'intervalle -3/+3 écarts types, je voudrais savoir la suite.
Quel pourcentage de population dans l'intervalle -4/+4 ; -5/+5 etc.
C'est peut être ennuyeux pour vous de faire ces calculs, je me contenterais de quelques données, par exemple la population comprise entre -4 et +4 et celle entre -10 et +10.
ça m'éclairerait déjà

merci
domitille

Siméon0 · April 2013

Je ne comprends pas pourquoi tu veux savoir ça, mais ça se rapproche très vite de 1 quand on prend de grands intervalles.

Entre -4/+4 : 99.9936... %
Entre -5/5 : 99.999942... %
Entre -10/10 : 99.9999999999999999999984... %

domitille · April 2013

Merci, ce sont ces chiffres que je voulais connaître.
Pourquoi, je voulais savoir ça?
Certains tests (sciences humaines) donnent une moyenne (nombre d'erreurs en lecture, par exemple) pour un âge ou une classe donnée.
Ils donnent également la valeur de l'écart type pour une distribution supposée gaussienne.
mais on obtient alors, selon les sujets des scores assez choquants allant jusqu'à -24 écarts types!
En lisant votre réponse, je suis maintenant sûre que les scores de ces tests ne veulent rien dire .

Je vais me risquer à une autre question de béotienne : quand on effectue des mesures quelconques et que la distribution des résultats est en rectangle, ne calcule-t-on pas une médiane puis des centilages?
Si la distribution est binaire ( par exemple 30% des sujets ont 30 points et 70% 90 points), n'est-il pas illogique de calculer une moyenne?

C'est à cause de ces exemples que je croyais que l'utilisation des écarts types était réservée aux distributions gaussiennes

peut être que la distribution des scores des tests dont je parle n'est pas gaussienne (mais ce n'est pas explicité) mais qu'ils présentent des résultats en moyenne et écart type.

Domitille

gerard0 · April 2013

Domitille,

il faudrait parler sur de vraies situations. Car les résultats de tests sont liés à des situations précises et des tests précis. Pour ma part, je ne saisis pas ce que tu expliques en disant : "mais on obtient alors, selon les sujets des scores assez choquants allant jusqu'à -24 écarts types". Veux-tu dire qu'il y a des individus dont le score est à -24 écarts types de la moyenne ? cela n'a rien de surprenant dans certaines situations, mais il est quasi impossible que ça arrive avec une variable gaussienne.
D'ailleurs ton affirmation "Ils donnent également la valeur de l'écart type pour une distribution supposée gaussienne" me semble bizarre. Il n'y a pas besoin de supposer la distribution gaussienne pour estimer un écart type.
Donc si tu as des textes qui mettent ça en évidence, je serais intéressé de voir ça.

Pour ta "question de béotienne", je dirai que tu as raison de te méfier, mais que le calcul de la moyenne et de l'écart type est possible dès que ce sont des nombres, et a un sens si additionner des valeurs peut avoir un sens (donc pour des mesures, pas pour des échelles; pour des tailles, pas pour des pointures). Ce qui n'interdit pas d'utiliser d'autres outils, en particulier pour des statistiques descriptives (Je ne sais pas ce que sont des centilages, je connais seulement les centiles).

Cordialement.

Nb : Il serait bon pour toi que tu lises le bouquin de Daniel Schwartz "le jeu de la science et du hasard", très adapté aux sciences humaines.

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