Moyenne, écart-type et variance

Effectivement ton exercice a l'air très mal posé. En pratique, il est généralement impossible de donner des vrais intervalles de confiance, puisque l'intervalle de confiance dépend fortement de la loi inconnue (il existe des exceptions si tu sais que la loi de probabilité inconnue appartient à certaines familles de loi).
A partir des paramètres estimés, on peut donner des intervalles de confiance estimés, mais on a alors aucune garantie que ces intervalles de confiance soient bons.
Je ne sais pas ce que l'exercice attend...

dlzlogic, ce serait vraiment bien si tu pouvais arrêter de répondre aux questions de probabilité ou de statistiques sur le forum, vu que tu n'as apparemment absolument pas les bases théoriques, ni en proba ni en stats. Et pourtant, tu balances systématiquement des trucs complètement faux, et en plus sur un ton professoral comme si c'était des évidences.

Je dis ça sans aucune méchanceté, mais vraiment ce serait bien si tu pouvais arrêter...

On est sur un forum de statistique, bien sûr que les grandeurs dont parle isis sont des quantités estimées à partir des échantillons observés, et non les vraies valeurs de la loi de probabilité inconnue.

Oui enfin dans tous les cas ce qu'on calcule est un intervalle de confiance estimé et pas le vrai intervalle de confiance, je trouve que c'est très limite que l'énoncé de l'exercice ne fasse pas la différence (même si asymptotiquement on peut espérer retrouver les mêmes choses).

D'autre part le TCL ne s'applique pas à la moyenne empirique, mais à $\dfrac{\sum{X_i - \mu}}{\sqrt{n}}$, donc là aussi l'approximation n'est que moyennement justifiable mathématiquement.

Isis, à quel niveau de maths es-tu ? Cet exercice vient-il d'un bouquin ?

Oui je suis bien d'accord qu'en pratique on n'a très souvent pas le choix que d'utiliser des intervalle de confiance estimés. Je demande juste à ce qu'on précise que ce sont des intervalle de confiance estimés

Pour les gaussiennes, des fois c'est vrai on sait pas faire mieux, des fois je trouve que c'est franchement de l'abus.
Par exemple le coup de l'approximation de la loi de la moyenne empirique de v.a. de Bernoulli (si c'est bien à ça que tu fais référence), pourquoi utiliser un TCL plutôt qu'une inégalité de Hoeffding ?
-Hoeffding est plus simple conceptuellement (pas besoin de convergence en probabilité)
-Hoeffding est plus simple à utiliser (pas de loi normale pour laquelle on n'a pas de forme explicite pour la fonction de répartition)
-Hoeffding est beaucoup plus simple à démontrer que le TCL
-Hoeffding est vraie pour tout $n$, pas seulement asymptotiquement
-Hoeffding concerne bien la loi de la moyenne empirique, pas de renormalisation en $\sqrt{n}$ qui pose problème.

Bien sûr qu'il faut faire des modélisations et des approximations rarement justifiables en pratique. Mais y a souvent des choses plus simples et/ou plus fines à faire que du TCL et de se ramener à des gaussiennes...

Franchement, Isis, ton problème est mal formulé d'un point de vue mathématique et on ne peut pas deviner ce que ton prof attend de toi (ça dépend de ce que vous avez vu en cours), donc je te conseille de lui demander directement.

PS : si ça se trouve, ce que leur prof attend c'est pas des approximations normales mais simplement d'utiliser Tchebychev avec la valeur de la moyenne empirique de la variance empirique. Vous avez vu l'inégalité de Tchebychev, Isis ?

Bon, juste une petite réponse à mes deux contradicteurs.
Donc, isis, désolé, je peux pas faire mieux.
Ces notions de base en matière de probabilité sont utilisées dans de nombreux métiers, et en particulier dans tous ceux qui concernent les mesures. Celles que je connais sont les mesures topographiques, mais j'ai lu que c'était le même chose dans un domaine assez inattendu : le domaine artistique.
On peut bien sûr réinventer d'autres méthodes que celles qui sont utilisées depuis deux siècles et qu'à ma connaissance les professionnels n'imaginent pas de remattre en cause.
Donc, dant l'état actuel des connaissances et des utilisations usuelles, c'est tout de même la loi normale qui est utilisée partout.
Petite question : la régression par la méthode des moindres carrés semble admise par tout le monde, comment la justifiez-vous sinon par la loi normale ?

afk écrivait:

---

> Personnellement, je ne vois que de la moyenne empirique la dedans.

Moi j'y vois la moyenne empirique multipliée par $\sqrt{n}$
Si on note $\hat{\mu}_n$ la moyenne empirique, un intervalle de confiance pour moi c'est majorer la quantité $\ \mathbb{P}\left( |\hat{\mu}_n - \mu | \geq x \right) $
Or le TCL te dit que : $$
\mathbb{P}\left( \hat{\mu}_n - \mu \leq \frac{x \sigma}{\sqrt{n}} \right) = \Phi(x) + o(1)
$$ Comment en déduis-tu quelque chose sur $\ \mathbb{P}\left( \hat{\mu}_n - \mu \leq x \right) $ ?

> Tout simplement parce que l'intervalle de confiance asymptotique donné par le TCL est moins
> long ! L'objectif est d'avoir une information la plus précise possible et Hoeffding est loin d'être
> optimal donc dès que l'approximation gaussienne est raisonnable, on a intérêt à l'utiliser.

Si on veut du précis, on peut utiliser l'inégalité de Chernoff. Toujours non-asymptotique, toujours aussi simple à prouver. Et y a pas mieux, par le théorème de Cramer (niveau facteurs exponentiels, si tu veux vraiment de l'ultra-précis y a encore mieux mais ça devient vraiment compliqué).

> J'ajoute que la démonstration du TCL est loin d'être compliquée : si on admet que la fonction
> caractéristique caractérise la loi, il suffit de savoir faire un DL à l'ordre 2).

Oui, mais ce point admis est justement la partie compliquée du TCL, non ?
(Bon j'avoue quand même que quand j'ai dit ça je pensais en fait à Berry-Esseen, la version non-asymptotique du TCL, qui elle est bien technique )

Notre bien bien aimé Bienaymé, prend un "y" il me semble.

De même penser que les industriels n'utilisent que la loi normale est complétement absurde, j'avais même fait l'effort de trouver un petit paquet de modélisations dans divers domaines faisant appel à d'autres lois, y compris dans des normes européennes par exemple...

Désolé, Dlzlogic,
mais si on reste mathématicien, on parle mathématiques, pas croyances.

Par exemple :
"1- en matière de hasard, type pêche, seule la loi uniforme existe dans la nature" est une croyance. Fausse, puisque aucune loi "existe dans la nature" et que les modèle probabilistes nécessaires aux ingénieurs sont bien plus larges (loi binomiale, loi de Poisson, loi exponentielle, loi de Weibull, etc. Toutes ces lois sont couramment utilisées par des ingénieurs ou techniciens pour des réalisations pratiques.
"2- toute expérience réalisée suivant une même loi converge (ie tend ) vers la loi normale avec une répartition par rapport à la moyenne, bien connue, lisible dans des tables de répartition et représentée par la courbe de Gauss." est une croyance due à un manque de formation mathématique. C'est un peu grossier de prétendre parler de mathématiques sans les connaître vraiment. Par contre, sous certaines conditions, il y a bien une certaine forme de convergence.

Ce qui est vrai est :
"3- il me parait difficile de générer une répartition suivant une loi uniforme." C'est effectivement difficile pour toi, mais réalisable assez facilement avec des dispositifs très classiques. Si tu n'es pas très jeune, tu as connu les "tables de valeurs aléatoires", qui donnaient des valeurs obtenues comme réalisations d'une variable aléatoire uniforme (et nécessaires pour les simulations de type Monte Carlo).

Bon, je te dis tout ça, mais tu ne veux jamais écouter et remettre en cause ta formation initiale légère et mal faite en statistiques. Je le retente encore une fois.
On ne sait jamais ...

Mais je n'y crois pas, tu as déjà commencé à te murer dans ton ignorance :
"Concernant les réponse éventuelles, il est naturellement très simple de dire "c'est pas vrai", "tu dis encore n'importe quoi", "nous on sait". Il est un peu plus difficile de répondre avec des arguments (autres que des liens sur des cours) du type chiffé (sic), d'autant que ces notions n'ont rien de théoriques et sont exclusivement destinées à être applicables."

Et je ne recommencerai pas à donner des données chiffrées, tu les contestes par principe. deux fois suffisent.

Bonjour Gérard,
Comme je m'y attendais, tu ne réponds que par des affirmations et des négations.
(Au passage, pardon pour le 'r' absent, ma machine oublie parfois des lettres et je n'ai plus mes yeux de vingt ans.)
Je te cite
"est une croyance due à un manque de formation mathématique. C'est un peu grossier de prétendre parler de mathématiques sans les connaître vraiment. Par contre, sous certaines conditions, il y a bien une certaine forme de convergence."
C'est Laplace et Gauss qui l'ont cru les premiers. Cette croyance s'est perpétrée dans les professions dans lesquelles ces notions étaient nécessaire. JJ Levallois ingénieur en chef géographe à l'Institut Géographique National y croyait encore quand il a rédigé son cours (éditon 1960), et dans le chapitre des probabilités, il pris soin de préciser :"Toute cette partie du cours suit de très près l'exposé de M. P. Lévy dans son cours << Cours d'Analyse de l’École Polytechnique >>, Gauthier-Villars, 1931".
Alors, moi, j'y crois encore, d'autant que j'ai fait un très grand nombre de simulations dans des quantités de domaines différents et qui ont toujours vérifié cela.

Concernant les tentatives de graphisme répartis uniformément. Si tu as un moyen autre que celui de diviser en parties élémentaires, ça m'intéresserait de le connaitre.
Non, je n'ai jamais entendu parler de tables de valeurs aléatoires. C'est assez marrant que tu parles de méthode de Monte-Carlo, connais-tu seulement sa justification ?

C'est assez intéressant comme discussion : toi, tu parles d’ignorance, et la première phrase que l'on m'a répondue sur ce forum est "oublie tout ce qu'on t'a appris"

Donc la question demeure et est très simple : soit une expérience et son résultat, peut-on savoir, et si oui comment, si elle ne dépend que du hasard ?

C'est drôle comme tu ressors toujours les mêmes arguments, comme tu n'écoutes jamais les tonnes de réponses construites, argumentées, et avec références qui y sont rapportés et que tu restes bornées. Moi je sors les pop-corn.

Voilà,

comme d'habitude, Dlzlogic répond à des remarques argumentées et appuyées sur le corpus mathématique et probabiliste par des affirmations fausses.

je lui avais dit sur un autre forum qu'il était monomaniaque. Je maintiens cette affirmation. Sa monomanie se développe sur ce point précis, une vision déformée de ce que sont les probas. J'avais cru comprendre que c'était en révérence à ses enseignants, il y a un grand nombre d'années. J'ai aussi lu à cette époque des affirmations grossières de ce type, qui ressortissaient plus à de la vulgarisation mal digérée qu'à une connaissance sérieuse.

Donc je laisse tomber une discussion inutile, mais je continuerai ici aussi à dire hautement que cet individu n'y connaît rien en probabilités et raconte des âneries.

Bien entendu, pas pour les matheux du forum, ils se sont déjà fait une opinion analogue, mais pour les débutants qui pourraient être désorientés par ce genre d'affirmations malsaines.

Cordialement.

NB : ma première discussion avec D. portait sur la difficulté des matheux à comprendre les stats. Je n'y avais pas vu malice. Depuis, j'ai compris : les matheux parlent de maths, lui de son idée fixe. Pas de communication possible.

A titre d'exemple, une thèse ici dénichée sur la maîtrise statistique des procédés industriels fait mention à plusieurs familles de lois...

dlzlogic écrivait:

---

> "comment justifier (...)

Oui, justifions !

Mais pour justifier, il faut commencer par se donner des définitions, et seulement ensuite on pourra énoncer quelque chose à justifier.

Or les définitions mathématiques universellement acceptées, tu les réfuses catégoriquement...
En l'absence de langage clair et précis, personne ne peut justifier quoi que ce soit. Ni toi, ni moi, ni personne.

Donc, tant que tu n'auras pas eu le courage de prendre les mêmes définitions que tout le monde, les choses ne pourront pas fonctionner : tu continueras à croire des choses pour le moins discutables (pour ne pas dire davantage) et tu ne comprendras pas les explications que moultes personnes ont eu la gentillesse de laisser depuis des années...


On commence avec une première définition ?

@ Béru,
A propos de vérificaion des hypothèses dont tu parles : un sujet très précis a été évoqué dernièrement, l'utilisation d'une fonction Rand() dans le but de mettre en oeuvre la méthode de Monte-Carlo.
Comment savoir si telle fonction rand() de tel logiciel fournira un tirage aléatoire, nécessaire à cette méthode.
Pour info, Sylviel a fait le test.
Je suppose que je n'aurai pas d'autre réponse.

Je refuse que tu dises des choses plus que douteuse à mon égard...

Pour info la méthode de Monte Carlo, basique, consiste à évaluer l'espérance d'une variable aléatoire X
en simulant un grand nombre de tirages indépendant de cette loi et en calculant la moyenne
arithmétique de ces tirages.

Donc la question n'est pas de d'avoir "un générateur rand" mais de savoir simuler X, variable aléatoire
suivant la loi voulue (non gaussienne en général).

Pour cela on a généralement besoin d'un générateur de nombre pseudo aléatoire, permettant de simuler une loi
discrète uniforme, et donc approximer une loi uniforme sur [0,1].

Il y a des tests vérifiant la qualité des générateurs de nombres aléatoires uniforme, je ne les connais pas bien
mais il n'ont rien à voir avec ce que tu racontes habituellement...

Maintenant quant on sait que pour toi toute variable aléatoire est gaussienne, ce qui est écrit ici est probablement
du Chinois...

dlzlogic écrivait:

---

> L'important dans la définition est l'expression
> "procédé aléatoire".


Absolument, donnons-nous cette définition :
un processus aléatoire est une famille de variables aléatoires $X_k$ associées à toutes les valeurs $k$ d'un ensemble $K$.

Es-tu d'accord avec cela ?


On poursuit par la définition d'une variable aléatoire :
c'est une application qui part d'un ensemble probabilisé $\Omega$ pour aller dans un ensemble $E \subset \R$ (par exemple $E = \{1,2,...,11,12\}$ ou $E= \mathbb N$ ou $E = [0,1]$ ou $E = \mathbb R$, etc.).


Deux exemples d'ensembles probabilisés et de variables aléatoires :
-1-
$\Omega =\{$pile, face$\}$ avec la probabilité $P$(pile) = 1/2 et $P$(face) = 1/2

Avec ce premier exemple d'ensemble probabilisé, on peut considérer la variable aléatoire $X : \Omega \to \{0,1\}$ où $X$(pile) = 0 et $X$(face) = 1.


-2-
$\Omega = \{(i,j) ~|~ 1 \leq i \leq 6 , 1 \leq j \leq 6 \} = \{1,...,6\} \times \{1,...,6\}$ où chaque élément $w \in \Omega$ est associé à une probabilité $P(w) \in [0,1]$ et de sorte que $\sum_{w \in \Omega} P(w) = 1$. Par exemple, $P(w) = 1/36$ pour tout $w$.

Avec ce deuxième exemple d'ensemble probabilisé, on peut considérer la variable aléatoire $X : \Omega \to \{1,2,...,11,12\}$ où $X(i,j) = i+j$ .

Es-tu d'accord avec cela ?

dlzlogic a écrit:

(...) inégalité de Bienaymé."

PS As-tu lu le livre de John Hartman ? As-tu lu l'article de Wiki "Théorème central limite" ?

Ne t'inquiète pas, oui j'ai lu des choses. Mais parler de tout cela reste illusoire tant qu'on n'a pas un vocabulaire commun.
Il ne faut pas mettre la charrue avant les bœufs : par exemple dans le TCL, on parle de "variables aléatoires" "indépendantes" "suivant une même loi", de "moyenne" $\mu \in \mathbb R$ et "d'écart-type" $\sigma \in \mathbb R$. Ca, ce sont les hypothèses, et je n'évoque pas la conclusion...
Tous les mots en "gras" sont à définir pour que tout le monde parle de la même chose, sinon toute discussion est vouée à l'échec...
On a commencé avec "variable aléatoire", mais ce n'est pas terminé. Une fois que la définition de "variable aléatoire" sera bien fixée, le reste ira vite car ce n'est pas compliqué du tout.

on évite de s'embarquer dans des théories abstraites.

Je suis complètement d'accord, inutile d'aller dans l'abstrait.

C'est ce qu'on peut constater dans la nature, dans la vie réelle, dans notre galaxie ou bien est-ce une notion définie dans l'abstrait ? En ce cas il faut préciser.

Absolument d'accord, il faut préciser. En fait, c'est une notion mathématique, et on peut facilement en voir des exemples dans la nature.

1- "ensemble probabilisé" reste à définir.

Pour rester concret et naturel, on va parler des ensembles finis (qui a déjà vu des ensembles infinis dans la nature ?).
Un ensemble fini $\Omega$ est dit probabilisé lorsque chacun de ses éléments $w \in \Omega$ est associé à une probabilité $P(w) \in [0,1]$, de sorte que la somme de toutes probabilités $P(w)$ vaille 1 , c'est-à-dire $\sum_{w\in \Omega} P(w)=1$.

Je viens de préciser une définition mathématique, et voici des exemples simples dans la vie courante :
\begin{itemize}
\item L' ensemble $\Omega$ des faces d'un dé cubiques, où chaque face est associée à la probabilité 1/6 (dé non pipé) ;
\item L'ensemble $\Omega = \{$vert, orange, rouge$\}$ des couleurs d'un feu tricolore, où $P$(vert) = 0.4 (ie. 24 secondes par minute), $P$(orange) = 0.1 (ie. 6 secondes par minute) et $P$(rouge) = 0.5 (ie. 30 secondes par minute) ;
\item L'ensemble $\Omega = \{0,1,\ldots, 10^{10} \}$, où on associe à chaque nombre $w \in \Omega$ la probabilité $P(w)$ d'avoir $w$ clients simultanément dans la boucherie du quartier, le mercredi à 11h00.
\end{itemize}
Es-tu d'accord ?

dlzlogic écrivait:

---

>
> Pour tes exemples.
> Le dé à 6 faces, (...) On
> m'a répondu aussi que la moyenne n'était pas
> appliquable puisque 3.5 ne figure sur aucune des
> faces.

On t'a répondu que 3.5 est la moyenne de loi uniforme sur le dé, et que cela n'apparaît sur aucune face, donc que cela ne pouvait pas être la valeur la plus probable.


> Les feux tricolores, ça me parait un peu compliqué
> comme loi à définir, puisque l'orange suit le vert
> et précède le rouge. Donc, exemple sans intérêt
> pour les notions de base.


C'est toi qui complique inutilement en pensant qu'il y a succession des couleurs donc sans intérêt, etc.
Peu importe qu'il y ait succession des couleurs, ce qui est important, c'est qu'il n'y a que trois couleurs possibles, une et seule est allumée, et que pour chaque couleur, il y a une proba de tomber dessus quand on arrive au feu tricolore.

Tu parles de succession des couleurs (genre : si le feu est rouge à l'instant $t$, de quel couleur sera-t-il à l'instant "t+30" secondes ?), tu es en train de parler de plusieurs variables aléatoires qui ne sont pas indépendantes. Mais pour l'instant, nous n'avons pas défini ce que cela signifie...


> Quant au troixième, il est trop compliqué aussi,
> puisqu'il y a trop de facteurs qui entrent en jeu
> pour une liste d'évènements trop petite, en gros
> entre 0 et 5.

C'est étrange de parler d'un trop grand nombre de facteurs qui entrent en jeu, pour des exemples dans la vie courante, car dans la vie courante, il y a très souvent un nombre inconnu de facteurs qui entrent jeu. Cela n'empêche pas de parler de proba, même si on ne la connaît pas.



>
> Moi je te propose un exemple simple avec pile ou
> face :
> 1- on sait qu'il y a une chance sur 2 d'avoir
> pile. L'évènement à étudier est la probabilité
> d'avoir une suite de P pile et de F face. C'est
> facile à calculer et facile à simuler, pour
> vérification

oui, c'est du même genre que le dé, mais avec 2 au lieu de 6.


> Donc il y a autant d'exemples simples tout autour
> de nous pour lesquels la loi de probabilitié est
> simple à définir, par exemple, au tir à l'arc :
> "on vise le milieu".

"on vise au milieu" n'a rien de mathématique, donc ton exemple n'est pas assez précis.




> 2- les évènements climatiques actuels
> (inondations) provoquent des questionnements.
> Comment a-t-on étudié ces problèmes ?

Quel est le rapport avec la définition d'un ensemble probabilisé et d'une variable aléatoire ?



> 3- Une application de la finalité de tout cela en
> ce qui me concerne : on effectue un certain nombre
> de mesures (...) Moi je sais le faire et je
> sais pourquoi (cf discussion sur la justification
> d'une méthode).


Tes mesures sont de quel type ? Dans quel ensemble doit-on les considérer ?
Si tu veux parler d'ensemble infini, ça va être assez sportif... c'est pour cela que je préfère commencer par les ensembles finis, avec des dés ou des pièces.



> 4- l'exemple de la pêche industrielle (poids et
> taille) est intéressant aussi. Il a été pris dans
> un cadre scolaire ou universitaire par un grand
> éditeur. Il m'a d'ailleurs donné l'idée d'un
> exercice que je te proposerai, si tu veux.

Même remarque : les poids et la taille des poissons appartiennent à quels ensembles : fini (lequel ?) ou infini (lequel ?)

Encore une fois, n'allons pas trop vite...

Bref, est-on ok sur la notion de variable aléatoire ?

dlzlogic écrivait:

---

> Concernant les formules de calculs de pluie
> (intensité fréquence etc.), il est bien évident
> qu'elles ont été établies par des méthodes
> statistiques. On est donc à fait dans le cadre du
> sujet dont on parle.

Je suis d'accord que les stats aident à déterminer des modèles probabilistes. Mais cela me paraît bien avancé, et je voudrais juste qu'on soit d'accord sur le vocabulaire "variable aléatoire".




> Ta question à propos de la taille des poissons est
> significative, ma réponse : elle est aléatoire.

Aléatoire... c'est justement ce qu'il faut définir. Disons que cela peut ressembler à ça :
on considère l'ensemble (fini) des poissons $\{poisson_1,\dots, poisson_n\}$ muni de la probabilité uniforme ( $P(poisson_i)=1/n$ ), et la variable aléatoire $X$ donnée par $X(poisson_i) = poids(poisson_i)$.





> La variable étudiée est la probabilité de suite de
> P pile.
> Par exemple, quelle est la probabilité d'une suite
> de 6 pile (P=6), de 8 pile.

Tu ne précises pas le nombre de lancés ?
Une variable aléatoire est une application d'un ensemble probabilisé dans une partie de $\mathbb R$. Quand tu parles d'une variable aléatoire, précises bien l'ensemble probabilisé au départ et ensuite l'image réelle de tout élément de l'ensemble (cf ce que je viens de faire avec les poissons), sinon c'est imprécis. En l'occurrence, là, je ne comprends pas la variable aléatoire dont tu parles.