Fermés et valeur d'adhérence

Gaussien
Gaussien
dans Topologie
Bonjour,

Je me pose la question suivante : soit $(E,d)$ un métrique. Dispose-t-on une CNS pour que tout fermé de $E$ soit ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite de $E^{\Bbb N}$?

Merci d'avance !

Réponses

  • ccnc dans le train
    ccnc dans le train
    E séparable selon toute vraisemblance CNS
  • h
    h
    Ça m'a l'air vrai effectivement. C'est un exercice ?
  • Gaussien
    Gaussien
    @ H : Non, je me posais la question.

    Justement, j'ai réussi montrer pour $\Bbb C$ que tout fermé est valeur d'adhérence d'une suite, mais j'utilise fortement sa structure : pour le faire, je montre que l'ensemble des points isolés d'un fermé est dénombrable.

    Dans le cas général, pourriez-vous me donner une indication pour la CS ? Il suffirait de montrer que l'ensemble des points isolés d'un fermé est dénombrable, mais je ne vois pas comment faire.
  • h
    h
    Dans un espace métrique séparable, tout sous-ensemble est séparable.
  • christophe c
    christophe c
    Un espace séparable est un espace ayant un sous-ensemble dénombrable $D$ dense. Par conséquent, d'après ton "il suffirait", si $F$ est fermé et si $a$ est isolé dans $F$, alors il existe un ouvert $U$ tel que $U\cap F=\{a\}$. Cet ouvert $U$ rencontre $D$ en un point que tu peux nommer $f(a)$ si tu veux. L'application qui à chaque point isolé $a$ de $F$ associe $f(a)$ est injective à valeurs dans $D$.

    Mais rien n'indique que ton "il suffirait" suffit à la preuve, mais vu que tu dis avoir fait le reste... :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Rouletabille
    Rouletabille
    On en a déjà parlé, avec contribution du regretté Saada ...
  • christophe c
    christophe c
    Daniel Saada pour donner le pseudo en entier pour une recherche
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Pour faire le point et ne pas te laisser dans la perplexité, ca je me déco:

    1) Le conseil que t'a donné H n'est pas évident à prouver. Car il faut trouver une partie dénombrable de $A\subseteq E$ pour montrer sa séparabilité

    2) Ton problème est plus facile car tu ne demandes pas ça et parles de fermés. Tu as raison d'essayer une preuve tout seul
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • h
    h
    Je ne vois pas trop l'idée de ta preuve en fait Gaussien. Que fais-tu une fois que tu as montré que l'ensemble des points isolés est au plus dénombrable ?
  • Gaussien
    Gaussien
    Merci à vous tous pour vos idées.

    Je me suis bien embrouillé en essayant de montrer que les points isolés étaient dénombrables ... C'est effectivement inutile. (mais intéressant)
  • Gaussien
    Gaussien
    @ H :

    Pourriez-vous me préciser comment montrer que tout sous-ensemble d'un métrique séparable (en tant que sous espace topologique) est séparable ?
  • christophe c
    christophe c
    Je t'ai mis une correction en vert dans le fil "il est facile de 2" quand tu as ouvert le fil à l'occasion d'une question où je demandais s'il est possible de se passer de l'axiome du choix. Je suis sur mon tel je te mettrai un lien d'un pc
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Gaussien
    Gaussien
    Merci pour la réponse !
  • christophe c
    christophe c
    De rien en fait j'avais mis un lien de X vers Y mais pas de Y vers X :-D j'aurais dû
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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