Une histoire de voisinage...

bourbaki · January 2015

Bonsoir,

Je bloque sur un truc tout bête.

Pour démontrer qu'un intervalle ouvert est un voisinage de chacun de ses points, je tombe sur la preuve suivante (une ligne) : Soient $a,b$ deux réels tels que $a<b$ et $c \in ]a,b[$ posons $\alpha= \min(c-a,b-c)$ alors $[c -\alpha/2, c+\alpha/2] \subset ]a,b[$. CQFD

Je n'arrive pas à comprendre le "pourquoi" du $\alpha= \min(c-a,b-c)$, et à me convaincre que l'intervalle trouvé reste dans les limites de $]a,b[$.

J'ai bien essayé un dessin, mais sans succès...

Merci pour votre aide
Cordialement

gerard0 · January 2015

Pourtant, sur un dessin on voit tout de suite.

Quelle est la distance entre les points de l'axe des x d'abscisses u et v quand u>v ? Quand u<v ?

Tu peux aussi regarder ce qui se passe si a=-12, b=378 et c=2.

Cordialement.

bourbaki · January 2015

Effectivement, l'exemple avec a=-12, b=378, et c=2 explique un peu la nécessité du min : mais je reste toujours sur ma faim...de savoir.

Braun · January 2015

Bonsoir,
Sur la droite la question n'est pas très visuelle, tu devrais essayer dans le plan. Au lieu d'un intervalle tu prends un disque de centre $O$ et de rayon $R$, un point $X$ de ce disque et $d$ la valeur minimale de la distance du point $X$ au cercle de centre $O$ de rayon $R$, sauf erreur $d = R - OX$, il ne te reste plus qu'à considérer le disque de centre $X$ et de rayon $\dfrac{d}{2}$.

gerard0 · January 2015

Bourbaki,

Il n'y a rien de particulier à savoir ici, juste que la distance entre deux nombres x et y est |x-y|. On prend l'intervalle de façon à être sûr qu'il soit contenu.

Il te suffit de regarder un schéma quelconque, en faisant varier les positions de c dans l'intervalle.

Cordialement.

NB : On ne peut pas comprendre ce qui est évident à ta place. La compréhension se fait dans ton cerveau. Demander d'expliquer cache souvent un refus de réfléchir.
Conseil : Tu devrais demander à un administrateur de changer ton pseudo. Se nommer Bourbaki et avoir des difficultés sur des questions aussi simples t'amènera des rebuffades, des lazzis.

bourbaki · January 2015

@Gérard. J'ai dépassé depuis longtemps la sensiblerie au rebuffades, et aux lazzis ; changer de pseudo? Pour quoi faire? Je ne viens pas assez souvent sur votre forum pour en voir l'utilité...Quant-à l'évidence, pas envie d'entamer une polémique avec vous. Par ailleurs, pourquoi être tout de suite désagréable en me parlant de mon intelligence? Est-ce que je vous parle de la vôtre ?

@Braun. Décidemment, je suis perméable au dessin. J'ai bien fait le croquis (et j'y arrive, même si comme le présuppose Gérard, je ne sais pas réflêchir .) ) Mais bon, je ne comprends toujours pas pourquoi on s'impose cette contrainte de distance minimale...

Je vais laisser tomber pour l'instant, quitte à y revenir dans quelques mois.
Cordialement,

Archimède · January 2015

Voici une preuve complète.
Soit $\displaystyle x\in\left[c-\frac{\alpha}{2},c+\frac{\alpha}{2}\right]$.

1er cas $\displaystyle c\leq \frac{a+b}{2}$ .
Alors
$2c\leq a+b$
$0<c-a\leq b-c$
Donc vu la définition de $\alpha$
$\alpha=c-a>0$ (1)
$\alpha\leq b-c$
$\displaystyle x\leq c+\frac{\alpha}{2}<c+\alpha\leq b$ (2)
D'après (1) on a aussi
$\displaystyle a=c-\alpha<c-\frac{\alpha}{2}\leq x$ (3)
Finalement d'après (2) et (3) on a donc $x\in]a,b[$.

2ème cas $\displaystyle \frac{a+b}{2}\leq c$ .
On procède de façon analogue.

bourbaki · January 2015

@Archimède. Merci pour ce dernier développement.
Cordialement,

Robespierre · January 2015

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pldx1 · January 2015

Ainsi donc un prétendu Bourbaki, un prétendu Archimède et un prétendu Robespierre discutent longuement pour savoir si, pour $a<c<b$, c'est à dire pour $c\in \left] a,b \right[$, la distance du point $c$ aux bornes de l'intervalle $\left] a,b \right[$ est $min \left(|c-a|,|c-b| \right)$ ou si cela vaut autre chose. Les Trissotins en goguette !

gerard0 · January 2015

Et en plus, ils connaissent la carrière des intervenants ... de travers :-)
Je n'ai jamais été taupin !

Mais "Robespierre", prêt à couper des têtes, en est persuadé ...

Braun · February 2015

gerard0 a écrit:

Je n'ai jamais été taupin !

Personne n'est parfait, mais je ne t'en veux pas. ;-)
Amicalement

bourbaki · February 2015

@pldx1. Et bien, je vous avoue très franchement être surpris par le peu de respect dont vous faîtes preuve envers les intervenants qui ont répondu à ma question apparemment idiote et bête ; puisque je ne sais pas réflêchir par moi-même (citation de gérard), et c'est bien entendu de l'ironie de ma part. Heureusement que dans la vraie vie, tout le monde ne raisonne pas comme vous...

Pour info, "les langues ont toujours du venin à répandre", c'est de Molière, un de vos auteurs préférés?

Cordialement,
Le prétendu Bourbaki

edit. Correction de l'orthographe du verbe raisonner suite à l'intervention d'Aleg