Commutativement convergent => sommable?

Bonjour @David,

Voici une proposition de démonstration (avec les notations que je connais). J'espère que mes explications parfois vagues suffiront, sinon elles t'aideront à demander la démonstration rigoureuse à une autre personne.

Si je dis des bétises, dis le moi !
Comme je tape tout directement, je ne connais pas tous les symboles...

Soit $E$ est un $\K$ e.v.n.
Soit $(x_n)_{n \in \N}$ une suite d'éléments de $E$.
$(x_n)_{n \in \N}$ est sommable de somme $S \iff \sum x_n$ est COMMUTATIVEMENT convergente de somme $S$

Démonstration (proposition de...) :
Point 1:
$J_0, J, K$ sont des parties finies non vides de $\N$ et $S_J=\sum_{k \in J} x_k$
Si $(x_n)$ est sommable de somme $S \in E$, soit $\sigma$ une permutation de $\N$ et $\epsilon >0$;
$\exists J_0$, $J_0 \subset J \implies ||S-S_J|| \leq \epsilon$ ; $\exists n_0, J_0 \subset \{\sigma(0), \sigma(1), \cdots, \sigma(n_0) \}$; alors
$n\geq n_0 \implies J_0 \subset J = \{\sigma(0), \sigma(1), \cdots, \sigma(n) \} \implies ||S - \sum_{0}^{n} x_{\sigma(k)} || = ||S - S_J|| \leq \epsilon$ donc $\sum x_{\sigma(n)}$ converge de somme $S$.

Point 2:
Si $(x_n)$ n'est pas sommable, on distingue deux cas :

Point 2a):
$(x_n)$ satisfait le critère de Cauchy (est-ce le bon terme ?) de sommabilité et est donc sommable dans le complété $E*$ de $E$, de somme $S \in E*-E$; alors par Point 1, $\sum x_{n}$ converge dans $E*$, de somme $S \notin E$, et ne converge donc pas dans $E$; a fortiori, $\sum x_{n}$ n'est pas commutativement convergente dans $E$

Point 2b):
$(x_n)$ ne satisfait pas le critère de Cauchy:
$\exists \epsilon > 0, \forall J, \exists K, J \cap K = \varnothing$ et $||S_K|| \geq \epsilon$ et alors :
$\exists K_0, ||S_{K_0}|| \geq \epsilon$ ; soit $k_0 = max K_0 : K_0 \subset 0, k_0$
$\exists K_1, 0, k_0\cap K_1=\varnothing$ et $||S_{K_1}|| \geq \epsilon$; soit $k_1 = max K_1 : k_1 > k_0$ et $K_1 \subset k_0 + 1, k_1$;
$\exists K_2, 0, k_1\cap K_2=\varnothing$ et $||S_{K_2}|| \geq \epsilon$; soit $k_2 = max K_2 : k_2 > k_1$ et $K_2 \subset k_1 + 1, k_2$;
$\cdots$
où l'on a définit par récurrence une suite $(K_p)$ de parties finies non vides de $\N$ et la suite strictement croissante de leurs maximum $(k_p)$ telles que, avec $k_{-1} = -1$ :
$\forall p \in \N, K_p = \{a_{p,1}, \cdots, a_{p,d_p}\} \subset U_p = k_{p-1}+1, k_p$ et $||S_{K_p}|| \geq \epsilon$ ;
pour $p$ fixé, on définit $\pi$ sur $U_p$ de sorte que $\pi_{|U_p}$ soit une permutation de $U_p$ et que :
$\forall j = 1, \cdots, d_p : \pi(k_{p-1} + j) = a_{p,j}$ ;
On a donc défini une permutation $\pi$ de $\N$ telle que dans la suite $(x_{\pi(n)})$ les éléments $x_j$ pour lesquels $j \in K_p$ deviennent consécutifs, et ce pour chaque entier $p$ ; alors la série $\sum x_{\pi(n)}$ contient une infinité de tranches de Cauchy de normes $\geq \epsilon$, et n'est donc pas convergente. Ouff!

[Au lieu de "\inter", il faut mettre "\cap" et l'ensemble vide s'obtint par "\emptyset" ou, plus joli par "\varnothing". Bruno]

Bonsoir,

1) Sommable implique commutativement convergente.
2) Commutativement convergente implique sommable.

Je ne sais pas si ce que je vais dire aidera car je parle d'un cas particulier (l'espace normé est R).

Dans ce cas on utilise les termes "absolument convergente" (AC) et "commutativement convergente" (CC).
J'ai besoin aussi de la notion "semi convergente" (SC) (qui veut dire convergente mais pas AC).

On démontre alors :
1') AC implique CC
2') CC implique AC

Pour démontrer le 2') on peut démontrer sa contraposée.
Si une serie est SC, alors elle n'est pas CC.
Ça se fait en quelques étapes :
A - on démontre que la serie des termes positifs (respectivement négatifs) de la suite divergent vers l'infini (resp. -l'infini).
B - on construit une suite, en réordonnant les termes de la suite originale par exemple de la manière suivante :
On choisit les termes positifs jusqu'à 10, puis on choisit un terme négatif.
On choisit les termes positifs suivants jusqu'à 20, puis un terme négatif.
Etc. C'est un algorithme.
C - on démontre que ça diverge
(On peut aussi faire en sorte que ça converge vers le réel que l'on veut grâce au fait que la semi convergence implique que le terme général tend vers 0).


Mon intervention est sûrement naïve mais elle pourra peut-être donner des idées (au moins pour tenter de prouver la contraposée).
Evidemment difficile de parler de positif/négatif pour C, par exemple, alors pour E e.v.n. quelconque...
Pardon pour l'éventuel hors sujet.

Cordialement.

Et si on passe au complété, genre "(Cauchy-)sommable dans le complété et limite dans le complété appartenant à l'espace lui-même" ?

Est-ce alors équivalent aux deux noitions ?

Bonjour à tous,

@bosio frederic, le passage au complété est effectivement partie de la démonstration que je propose (Point 2b), qui est LE point crucial et difficile de cette démonstration.

Quand je dis difficile, en fait ça ne l'est pas. On part de la définition que la suite ne satisfait pas le critère de Cauchy, mais pour conclure il faut avoir l'idée de définir la permutation $\pi$.

La démonstration est imparable. Je suis étonné si elle n'est pas dans tous les bons livres. Je ne l'ai pas inventée, seulement eue en cours !