Applications ouvertes
Bonjour à tous,
Je souhaite montrer que toute application polynomiale non constante sur $\mathbb{C}$ est ouverte mais je ne sais
pas comment m'y prendre de manière simple. Si quelqu'un veut bien m'éclairer sur
ce sujet, je lui en serais reconnaissant.
Merci d'avance pour vos réponses,
rp
Je souhaite montrer que toute application polynomiale non constante sur $\mathbb{C}$ est ouverte mais je ne sais
pas comment m'y prendre de manière simple. Si quelqu'un veut bien m'éclairer sur
ce sujet, je lui en serais reconnaissant.
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rp
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Réponses
e.v.
rp
e.v.
L'application $w \to w^k$ est ouverte dans un voisinage de $0$. Par conséquent, $f$ est ouverte dans un voisinage de $z_0$ comme composé d'applications ouverte. Dans le cas général, soit $U$ un ouvert. Il existe un recouvrement d'ouvert $V_i$ tel que $f_{\mid V_i}$ est ouverte. Alors $f(U) = \cup_i f_{\mid V_i}(U \cap V_i)$ est une union d'ouverts donc ouvert.
Soit $P$ un polynôme non constant, unitaire (Sans perte de généralité on peut remplacer $P$ par $\frac{P}{a}$ où $a$ est le coefficient dominant de $P$). Soient $x \in \C$ et $y=P(x)$.
Soit $y_n$ une suite convergeant vers $y$. Montrons qu'il existe une suite $x_n$ telle que $P(x_n)=y_n$ et $x_n$ tend vers $x$ (ce qui entraîne-exo- que $P$ est une application ouverte). En effet grâce à D'Alembert-Gauss, on note $P(T)-y_n=\prod_{k=1}^d \big (T-x_{k}(y_n) \big )$, alors $P(x)-y_n=y-y_n=\prod_{k=1}^d \big ( x-x_{k}(y_n) \big )$ ce qui montre que pour tout $n$, il existe $k_n\in \{1,...,d\}$ tel que $|x-x_{k_n} (y_n)| \leq |y-y_n|^{\frac{1}{d}}$, ce terme tendant vers $0$ et on pose $x_n=x_{k_n}(y_n)$, ce qui fournit le résultat souhaité.
En fait on a montré que pour tout corps algébriquement clos muni d'une valeur absolue (et de la topologie qui va avec), tout polynôme non constant définit une application ouverte (exemples: clotûre algébriques de $\Q$, $\Q_p$ etc.). Pour une fois pas besoin d'holomorphie.