Normabilité de la topologie de Schwartz
Bonjour je considère l'espace $E$ de Schwartz des fonctions à décroissance rapide de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$.
Je le munis de la topologie engendrée par les pseudo-normes $(||.||_{i})_{i \in \mathbb{R}^{n+1}}$ où pour tout $i = (k, m_{1}, \ldots, m_{n}) = (k, m)$ on pose pour tout $f$ de $E$
$||f||_{i} = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} \Big|(1 + ||x||^{k}) \frac{\partial^{m}f}{\partial x_{1}^{m_{1}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}(x)\Big|$,
où $||.||$ désigne la norme euclidienne usuelle.
Soit donc cette topologie. Je la note $T$. Je me demande si elle est normable. Je pense que non.
J'ai trouvé un exo guidé qui part du fait (qui est vrai) que si elle est métrisable alors pour $\epsilon < 1$ alors $\big\{B(0, \frac{\epsilon}{n+1} ),\ n \in \mathbb{N}\big\}$ est une base de voisinage de 0 qui est dénombrable.
Je me demande en quoi cela implique que la topologie de Schwartz n'est pas normable.
Pouvez vous me donner une indication je vous prie ?
Pour moi c'est le dénombrable qui aide.
Alors déjà si j'écris ma famille $(||.||_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ par exemple je peut métriser l'espace.
$d(x, y) = \sum_{n \in \mathbb{N}} 2^{-n}\min(1, ||x - y||_{n})$ définit une distance.
Mais bof.
Merci d'avance et bonne après midi:-).
Je le munis de la topologie engendrée par les pseudo-normes $(||.||_{i})_{i \in \mathbb{R}^{n+1}}$ où pour tout $i = (k, m_{1}, \ldots, m_{n}) = (k, m)$ on pose pour tout $f$ de $E$
$||f||_{i} = \sup_{x \in \mathbb{R}^{n}} \Big|(1 + ||x||^{k}) \frac{\partial^{m}f}{\partial x_{1}^{m_{1}}\ldots \partial x_{n}^{m_{n}}}(x)\Big|$,
où $||.||$ désigne la norme euclidienne usuelle.
Soit donc cette topologie. Je la note $T$. Je me demande si elle est normable. Je pense que non.
J'ai trouvé un exo guidé qui part du fait (qui est vrai) que si elle est métrisable alors pour $\epsilon < 1$ alors $\big\{B(0, \frac{\epsilon}{n+1} ),\ n \in \mathbb{N}\big\}$ est une base de voisinage de 0 qui est dénombrable.
Je me demande en quoi cela implique que la topologie de Schwartz n'est pas normable.
Pouvez vous me donner une indication je vous prie ?
Pour moi c'est le dénombrable qui aide.
Alors déjà si j'écris ma famille $(||.||_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ par exemple je peut métriser l'espace.
$d(x, y) = \sum_{n \in \mathbb{N}} 2^{-n}\min(1, ||x - y||_{n})$ définit une distance.
Mais bof.
Merci d'avance et bonne après midi:-).
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Réponses
Il me semble que l'idée de la preuve est d'utiliser le fait que la topologie est métrisable (c'est lié au caractère dénombrable des semi-normes qui définissent la topologie) (edit : et complet pour la métrique). Ensuite, il faut montrer que les parties bornées sont relativement compacts (c'est pas trivial et ça doit reposer sur le théorème d'Ascoli et le théorème des accroissements finis pour montrer l'équicontinuité...).
Rem: une partie bornée au sens des espaces vectoriels topologiques est une partie absorbée par un voisinage donné de 0 ou encore telle que pour chaque semi-norme, il existe une constante qui majore la semi-norme de n'importe quel élément de la partie)
Ensuite, en raisonnant par l'absurde, si la topologie définissant cet espace était normable, on pourrait en déduire que sa boule unité fermé est bornée et donc compacte d'après le résultat ci-dessus mais d'après le théorème de Riesz c'est impossible en dimension inifinie.
(la partie délicate étant celle ou l'on montre que les parties bornées sont relativement compactes)
Par exemple $d(x, y) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \min(2^{-n}, ||x - y||_{n})$.
Mais faudrait que cette distance majore toutes les dérivés partielles, ainsi donc pour toutes parties bornées on pourrait majorer les dérivés partielles par une même constante et là on peut utiliser comme tu as dit le théorème des accroissements finis (reste à trouver la distance).
Ce qui permet l'équicontinuité.
Après (le plus dur je pense), montrer que l'image d'un ensemble de fonctions est à adhérence compacte.
En effet les fonctions considérer vont de $\mathbb{R}^{n}$ dans $\mathbb{R}$.
Soit $\R_{d}^{\bf{.}}=\R^d \cup \{{\infty}\}$ le compacifié d'Alexandrof de $\R^d$.
Soit $\phi : \mathcal{S}(\R^d) \to \prod_{\alpha,k} \mathcal{C}(\R_d^{\bf{.}},\C)$ définie par $f \to (\phi_{\alpha,k})_{\alpha,k}$ et avec
$\forall \alpha \in \N^d, \forall k \in \N\,,\phi_{\alpha,k}(f)(x) = (1+\|x\|)^k\partial_{\alpha}f(x)$ si $x\in \R^d$ et $\phi_{\alpha,k}(f)(\infty) = 0 $
Alors chaque fonction coordonnée $\phi_{\alpha,k}$ est continue donc $\phi$ est continue. De plus, $\phi$ est clairement une bijection sur son image. L'application inverse $\phi^{-1}$ et aussi clairement continue car si pour $u_n=\phi(f_n) \to u=\phi(f) \in \phi(\mathcal{S})$ alors $\lim_n \phi^{-1}(u_n)=\phi^{-1}(u)=f$.
Ainsi $\phi$ est un homéomorphisme de $\mathcal{S}$ sur $\phi(\mathcal{S})$.
Soit $x \in \R^d$ et $y$ dans un voisinage de $x$, et pour tout $f \in H$ il résulte du théorème de accroissements finis appliqué entre $x$ et $y$ que
$|\phi_{\alpha,k}(f)(x)-\phi_{\alpha,k}(f)(y)| \leq \sum_{1\leq j \leq d}|x_j-y_j|sup_z \partial_j |\phi_{\alpha,k}(f)(z)|$
d'où par l'inégalité de Cauchy-Schwarz que
$|\phi_{\alpha,k}(f)(x)-\phi_{\alpha,k}(f)(y)| \leq \|x-y\| (\sum_j (sup_z |\phi_{\alpha+\tau_j,k}(f)(z)|^2)^{\frac{1}{2}}$
où $\tau_j$ désigne l'élément de $\N^d$ dont les coordonnées sont toutes nulles sauf sa $j$-ieme qui vaut 1.
Cette inégalité donne le caractère équicontinue de $\phi_{\alpha,k}(H)$ en chaque point $x \in \R^d$ et pour chaque $\alpha$ et chaque $k$.
Pour $x=\infty$ et $y$ appartenant à un voisinage de $x$, on a
$\displaystyle |\phi_{\alpha,k}(f)(\infty)-\phi_{\alpha,k}(f)(y)|=|\phi_{\alpha,k}(f)(y)|\leq \frac{(1+\|y\|)(1+\|y\|)^k\partial_{\alpha}f(y)}{(1+\|y\|)}\leq \frac{\sup_{y \in\R^d} (1+\|y\|)^{k+1}\partial_{\alpha}f(y)}{(1+\|y\|)} = \frac{p_{\alpha,k+1}}{(1+\|y\|)}$
Ainsi pour $\|y\|$ suffisamment grand on obtient que $\phi_{\alpha,k}(H)$ est équicontinue en $x =\infty$.
Au final, pour chaque $\alpha$ et $k$ fixés, la partie $\phi_{\alpha,k}(H)$ est équicontinue en tout point du compact $\R_d^{\bf{.}}$.
De plus, comme $\phi_{\alpha,k}(H)$ est uniformément bornée (vu le caractère borné de $H$), par le théorème d'Ascoli, $\phi_{\alpha,k}(H)$ est une partie relativement compact de $\mathcal{C}(\R_d^{\bf{.}},\C)$
Comme un produit d'espaces relativement compacts est relativement compact (Tychonoff), $\phi(H)=\prod_{\alpha,k} \phi_{\alpha,k}(H)$ est relativement compacte dans $\prod_{\alpha,k} \mathcal{C}(\R_d^{\bf{.}},\C)$. Ainsi $\overline{\phi(H)}$ est compacte dans $\overline{\phi(\mathcal{S})}=\phi(\mathcal{S})$ et $H$ finalement est relativement compact car contenu dans le compact
$\phi^{-1}(\overline{\phi(H)})$ (image d'un compact par une application continue vers un espace séparé).
Donc si je comprends bien avec ce résultat, il suffit d'exhiber une suite $(f_n)$ telle que $ \forall \alpha \in \N^*,\ \dfrac{p_{\alpha,k}(f_n)}{p_{0,k}(f_n)}$ ne soit pas borné. J'ai l'impression qu'on pourrait prendre $ f_n: x\to e^{-nx^2}$ ?
ta preuve est jolie seb78.
remarque écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1198299,1199427#msg-1199427
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Peut tu étayer ton idée je te prie ?
Et pour l'idée des bases je ne sais pas je n'ai vraiment rien trouvé.
Dire qu'une partie $B$ est bornée s'écrit:
$\forall n\in \N, \exists \lambda_n >0\, , \forall u\in B\;; p_n(u)<\lambda_n$
Supposons par l'absurde qu'un espace qui aurait toujours une semi-norme $p_m$ non équivalente pour toute semi-norme $p_n$ contienne une partie borné d'intérieur non vide, c'est à dire qu'elle contienne un ouvert $U$ non vide. Il existe donc un voisinage non vide d'un point $u$ inclu dans $U$, ou encore il existe $n \in \N$ et $\alpha >0$, tels que:
$V_{n,u,\alpha}=\{v, p_n(v-u)<\alpha\}\subset U \subset B$.
Par hypothèse il existe une semi-norme $p_m$ (disons avec $p_n \leq p_m$) qui n'est pas équivalente à $p_n$, autrement dit telle que :
$\displaystyle \sup_{u}_{p_n(u)< 1}p_m(u)=+\infty$
Cela implique qu'il existe $w \in V_{n,0,1}$ tel que :
$p_m(w) \geq \frac{\lambda_m+p_m(u)}{\alpha}$
Soit $v=\alpha w+u$, il est clair que $v \in V_{n,u,\alpha}$
On a alors $p_m(\alpha w) \leq p_m(v)+p_m(u)$ (inégalité triangulaire)
On a donc montré qu'il existe $v \in B\,; p_m(v) \geq \alpha p_m(w)-p_m(u) \geq \lambda_m$
Ceci est absurde vu le choix de $\lambda_m$.
Je me suis intéressé à cette ancienne discussion sur la normabilité de la topologie de Schwartz :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1198299
Il y a plusieurs propositions intéressantes de démonstration mais j'aimerais savoir si on peut démontrer la non-normabilité directement d'après le fait que les boules ouvertes de centre 0 et de rayon e/(n+1) forment un système fondamental de voisinages ouverts de 0 (comme suggéré par Algèbre dans le message initial).
Deuxième question : quid du cas m1=m2=...=0 dans la définition des semi-normes ? Dans ce cas particulier, la semi-norme n'est elle pas une norme ? (je me doute que non puisque l'espace de Schwartz n'est pas normable, mais je ne comprends pas mon erreur de raisonnement)
Merci pour toute réponse et bonne journée !
Alex
Cette question m'intéresse aussi, je vais suivre l'évolution du post avec attention !
Du peu que je comprends, le cas $m=0$ fournit bien une norme sur $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$, en revanche elle ne donne probablement pas la même topologie que celle induite par l'ensemble des semi-normes $|| \cdot ||_{\alpha, \beta}$ (elle ne le rend même pas complet).
En effet, je pense que l'incohérence se situe dans ma formulation : ce ne serait donc pas l'espace de Schwartz qui n'est pas normable, mais la topologie de Schwartz engendrée par les pseudo-normes.
J'espère que nous aurons une réponse pour ma question principale.