Droite réelle normable ?
Salut,
Je sais que $\overline{\mathbb R}$ est métrisable via la distance $d:\overline{\mathbb R}\times\overline{\mathbb R}\rightarrow\mathbb R$ définie par $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ avec l'homéomorphisme $f:[-1,1]\rightarrow\overline{\mathbb R}$ défini par $f(t)=\dfrac{t}{1-|t|}$ si $t\in ]-1,1[$, $f(-1)=-\infty$ et $f(1)=+\infty$.
Mais est-ce que $\overline{\mathbb R}$ est normable ?
Je sais que $\overline{\mathbb R}$ est métrisable via la distance $d:\overline{\mathbb R}\times\overline{\mathbb R}\rightarrow\mathbb R$ définie par $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ avec l'homéomorphisme $f:[-1,1]\rightarrow\overline{\mathbb R}$ défini par $f(t)=\dfrac{t}{1-|t|}$ si $t\in ]-1,1[$, $f(-1)=-\infty$ et $f(1)=+\infty$.
Mais est-ce que $\overline{\mathbb R}$ est normable ?
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Réponses
L'éventuel problème que je perçois est que je suppose que $\overline{\mathbb R}$ ne peut être muni d'une structure d'espace vectoriel qu'avec les lois usuelles.
Je ne comprends pas ta remarque.
Parles-tu d'ensemble "sans structure" ?
Selon la métrique qu'on place sur $\mathbb R$, par exemple, on obtient un espace métrique normable ou non indépendamment du cardinal.
Je suis sûr que quelque chose m'échappe :-S
Remarque : dans ce cours, $E$ un e.v.n. sur le corps $K$ des nombres réels ou complexes et $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ d'intérieur non vide.
Bref.... il te reste des précisions à donner :-D
La note de bas de page de ton doc est mal tournée: elle voulait dire "nous n'envisagerons pas blabla", vu que "ne saurait être" est un peu "agressif". Evidemment, elle vise les tangentes verticales considérées comme "existant bien" honnêtement, mais ayant une pente infinie, donc n'étant pas "considérées" (comme au lycée). Honnêtement, tu peux passer ton chemin, c'est plutôt un détail. Mais c'est dommage car comme le texte prétend étudier des "nombres dérivés qui sont des vecteurs", il y avait surement de jolies choses à dire (puisque de "nombreuses" directions "verticales" (géométrie projective)). Cela dit, les histoire de normalité n'ont pas grand chose à voir la dedans, ne t'inquiète pas, c'est juste que le cours précise de quoi il ne parlera pas.
Bruno
Donc si tu pose $||x|| = |f(x)|$. Par injectivité de f $||.||$ est séparable.
Mais rien de plus. Est ce qu'on peut trouver une norme équivalente a d. Bof.
Où alors qu'on me donne une structure.
Bruno
> zat ize ze
C'est quoi comme langue?
Bruno
Maintenant, on peut munir $(\overline{\mathbb R},\overline{+},\overline{.})$ de la norme $N$ que l'on veut et on obtient le $\mathbb R$-e.v.n. $(\overline{\mathbb R},N)$ :-)
Plaçons nous dans ce cadre : cela a du coup du sens de dire que certaines fonctions ont une dérivée en un point qui vaut $+\infty$, non ?
Par exemple, dans ce cadre, la fonction racine carrée est dérivable en 0 et sa dérivée en ce point vaut $+\infty$ !
La topologie de l'espace vectoriel normé ainsi construit n'a rien à voir avec la topologie usuelle
J'aimerais voir, pour la fonction racine carrée, le calcul de la limite du taux de variation en utilisant la norme…
Avez-vous un exemple (dans ce cadre) de fonction dérivable en un point et dont la valeur de la dérivée en ce point vaut $+\infty$ ?
Pour pouvoir travailler avec ton espace vectoriel $\overline{\mathbb R}$, il faut que tu précises ta bijection $f:\mathbb R\to \overline{\mathbb R}$.
Après, tu regardes ce qu'est une boule de centre $\infty$ et de rayon $r$, suivant le choix de la bijection $f$, on obtient des choses surprenantes ...
Alain
On considère une bijection sur lui-même, bien "pourrie" : on décale tous les entiers de +1 par exemple.
Que deviennent les dérivées ?
Attention aux OGM quand même.
tu n'as jamais dérivé la racine carrée ?
Si tu tiens à une fonction définie sur $\mathbb R$, tu prends $x\mapsto \sqrt[3]{x}$. La limite du taux d'accroissement en 0 est $+\infty$.
Cordialement.
OGM. Non ça va je mange bio moi.
Je sors.
Sérieusement je ne sais pas c'est les initiales de quoi.
Il suffit que les OGM ne soient pas nourris aux pesticides !
Je ne sais pas encore s'il existe des pesticides BIO...
> Tout le monde ne peut pas habiter la compagne !
> :-)
Je ne suis pas retourner dans la conversation depuis 2 jour et j'ai lu ta phrase hors de contexte.
Je l'ai mal intérprété.
D'où l'expression "battre la compagne".
Cordialement,
Rescassol
Ça nous apprendra !