Espace strictement convexe

Bonjour.

Un énoncé précis, disant de quoi tu parles, ne serait pas de trop : Que veut dire " p.s.s.e" ? Qui est x ? y ?

Pourquoi se fatiguerait-on à te répondre si tu n'es même pas capable de dire clairement ce que tu veux ?

Cordialement.

L'espace est simplement normé. Les deux propositions équivalentes constituent la définition d'un EVN strictement convexe.

Précisons qu'il y a une erreur dans $1)$, il faut ajouter au moins l'hypothèse que $x \neq y$, car sinon la propriété $1)$ est clairement violée.

Regardons l'implication $1) \to 2)$. Supposons $1)$. Si $x$ ou $y$ est nul, la propriété est évidente, sinon, on normalise les deux vecteurs $a =\frac{x}{||x||}$ et $b= \frac{y}{||y||}$, et l'hypothèse de $2)$ devient $||a+b|| = 2$ avec $||a|| = ||b|| = 1$. En divisant par $2$ on a donc $||\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b|| = 1$.
En prenant $t = \frac{1}{2}$ dans $1)$ on voit que l'inégalité stricte est violée, et donc la seule possibilité est que $a=b$, et donc $y= cx$ avec $c = \frac{||y||}{||x||} >0$. En conclusion $1)$ implique $2)$.

Réciproquement, si on suppose $2)$, et qu'on se donne deux vecteurs $x \neq y$ normalisés, et $t \in ]0,1[$.
L'inégalité triangulaire donne :
$$||(1-t)x + ty|| \leq (1-t)||x|| + t||y|| = 1-t + t = 1.$$
Supposons maintenant par l'absurde que l'inégalité n'est pas stricte, c'est à dire qu'on est dans le cas d'égalité.
On applique $2)$ aux vecteurs $a=(1-t)x$ et $b=ty$. Ils vérifient bien $||a+b|| = ||a|| + ||b||$, donc par $2)$, $a=c b$ , avec $c>0$, et donc $x= \frac{tc}{1-c} y = c' y$ et $c'>0$.

Or $c' = c' ||y|| =||c'y|| = ||x|| = 1$, donc $x = y$, ce qui contredit notre hypothèse. D'où l'implication $2) \to 1)$.

Pour plus de détails : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_strictement_convexe