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Topologie de $\mathbb R $

Envoyé par orlando 
Topologie de $\mathbb R $
il y a quatre années
Salut tous le monde.
Est-ce que l'union infinie de singletons est un ouvert fermé pour la topologie usuelle de $\mathbb R $ ?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par jacquot.
Dom
Re: Topologie de R
il y a quatre années
Une intersection de singleton ? Heu... je ne comprends pas.
C'est vide, non ? (Ou égal au singleton lui-même).

Vide est ouvert et fermé.
Un singleton n'est pas ouvert pour la topologie usuelle de $\mathbb R$.
Un singleton est fermée pour cette topologie.
Re: Topologie de R
il y a quatre années
désole j'ai corrigé la question (c'est l'union ) merci
Re: Topologie de R
il y a quatre années
avatar
SI $I\subset \R$, on a $I=\bigcup_{x\in I}\{x\}$. Donc, la réponse est ?

PS: de toute façon, des sous-ensembles de $\R$ qui soient à la fois ouverts et fermés , y en a pas beaucoup...

Greg

Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
Re: Topologie de R
il y a quatre années
En général n'importe quelle partie $A \subset \R$ (qu'elle soit ouverte, fermée ou ni l'un ni l'autre) est la réunion des singletons qu'elle contient : $$A = \cup_{x \in A} \{x\}.$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Topologie de R
il y a quatre années
orlando écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier le message initial. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Il ne peut pas être les deux (ouverts et fermé), à moins que se soit $\mathbb{R}$ lui même (c'est de la connexité).

Les résultats varient après : $\{\frac{1}{n}\}_{n} \cup \{0\}$ est fermé (il est même compact).
Mais $\{\frac{1}{n}\}_{n} $ n'est ni fermé ni ouvert.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
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