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Existe-t-il un homéomorphisme tel que...

Envoyé par pourexemple 
Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Bonjour,

Soit $K$ compact simplement connexe de E un $\R$-espace vectoriel normé de dimension fini, tel que l'intérieur de $K$ connexe, l'adhérence de l'intérieur vaut $K$. Existe-t-il un homéomorphisme $f$, et un convexe $C$ de E tel que $f(C)=K$ ?

Bonne journée.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Salut, as tu un contexte ou s'inscit se problème?

Parce que ainsi poser.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Fais un effort bon sang, tu seras le premier à y gagner. L'intérieur de $K$ est $K$ sans autre précision et en lisant ton énoncé.

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Salut,

@Algèbre : Ce n'est pas un problème particulier, c'est juste un énoncé que je soumet à votre sagacité...

Sinon cette question vient de .

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Peu importe d'où vient la question, qu'est-ce que ça te coûterait de poster des énoncés qui ont un sens? Pourquoi tu ne le fais pas?

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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J'ai corrigé, si tu vois d'autre mauvaise formulation n'hésite pas.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Maintenant ça a beaucoup plus de sens. Je ne suis pas expert, mais la sphère n'est-elle pas simplement connexe?

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
message modifié ; je n'avais pas compris l'intervention de Christophe...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par gimax.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Ok, et pourquoi la sphère ne pourrait être déformé continue-ment et de manière inversible en un convexe ?
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
message modifié, j'avais pas compris...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par gimax.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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contrexemple écrivait:
-------------------------------------------------------
> Ok, et pourquoi

Parce que : [fr.wikipedia.org]
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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C'est possible, mais ici on ne travaille pas avec une sphère, car $K$ est d'intérieur non vide dans l'espace vectoriel de dimension finie n.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Il y a une autre manière de l'énoncé :
Existe-il une dimension finie où la boule unité sans son centre est homéomorphe à la boule unité ?

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Pour respecter ta question de départ, mieux vaut que tu parles de $B_1\setminus int(B_2)$, où chaque $B_i$ est une boule fermée de centre $0$, $B_2$ ayant un rayon strictement plus petit que $B_1$, mais à ta décharge, j'ai tapé vite avec sphère (flemme de parler de "sphère épaisse"). Remarque t'a répondu. Ce n'est pas si simple de caractériser la "convexité à homéomorphisme près", si c'est ça ton but.

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Je dispose d'une "propriété simple" et il me semble peut utiliser, et j'aurais aimé l'habiller du plus joli énoncé.

Si tu veux m'aider je t'envoie par M.P. cette "propriété simple".



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Par énoncé joli j'entends le plus court possible et le plus facilement compréhensible c'est à dire avec le moins possible de pré-requis.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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C'est le plus joli que j'ai trouvé :

Existe-il une dimension finie où la boule unité fermée sans un diamètre rayon est homéomorphe à la boule unité fermée ?

PS : la boule unité privée d'un diamètre en dim 4, est bien simplement connexe ?




Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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La complétude est-elle topologique ?

C'est à dire si E et F 2 espaces métriques homéomorphe, alors si E est complet alors F l'est aussi.

Merci.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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J'ai ma réponse avec $\R$ et $]0,1[$.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Bonjour

Réponse à la dernière question:

$]-\pi/2,\pi/2[$ et $\R$ sont métriques (avec la métrique usuelle de $\R$), homéomorphes, (par exemple la fonction tangente réalise un homéomorphisme) mais il y a un complet et un non complet.

Je n'avais pas vu que tu avals déjà la réponse!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Magnolia.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Merci, quand même.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Si on pouvait m'expliquer pourquoi ce qui marche avec la sphère (le lien de Remarque parle de sphère), marche aussi avec la boule unité fermé privée d'une petite boule ouverte en son centre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Parce que la sphère épaisse se rétracte par déformation sur la sphère pas épaisse : les deux ont donc la même homologie.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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J'ai compris.

Merci.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Voilà la propriété dont je parlais :
Si C est homéomorphe à un convexe compact, alors toutes fonctions continues de C dans C admet un point fixe.

Je me demandais si la réciproque était vrai.

PS : l'énoncé proposé se résout en utilisant la fonction opposée, qui n'a pas de point fixe sur la sphère épaisse centré en 0.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Non plus, si ma mémoire ne me trompe pas $S_2$ (la sphère de $\R^3$) a la propriété de point fixe. Avoir la propriété de point fixe est trop faible comme demande.

Mais qu'est-ce que tu cherches exactement? A caractériser "être homéomorphe à un convexe d'un $\R^n$"?

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Non la sphère $S^2$ n'a pas la propriété du point fixe. Prends l'antipodie par exemple, ou une rotation.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Euh, et l'antipodie, christophe ?

EDIT : Oh mince, je laisse toujours mes onglets ouverts trop longtemps sans les réactualiser. Désolé !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Georges Abitbol.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
ola oui, pardon, suis-je bête!!!!! Mince alors, il me semblait me rappeler qu'elle avait pourtant un truc s'en rapprochant... (Et je ne parle pas du théorème de la boule chevelue, enfin je ne crois pas, il y avait autre chose).

Peut-être l'ensemble des droites vectorielles de $\R^3$ muni de la topologie qu'on devine a-t-il la prop du point fixe confused smiley ?

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
avatar
J'aurais aimé savoir si la réciproque de la propriété que j'ai mentionné est correcte.

Tous les participants sont d'accord avec cette propriété, sinon j'explicite pourquoi elle serait correcte



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Bin je t'ai répondu que ta réciproque est fausse (même si je t'ai donné un exemple qui ne marche pas grinning smiley ) pour une raison très simple et non mathématique: sinon (si c'était oui ou inconnu) ce serait un des problèmes ouverts les plus célèbres. Bon, il peut y avoir 0.2% de chance que je me trompe cela dit... Par ailleurs, ce n'est pas grave, mais ton énoncé (de réciproque) est faux pour des raisons qu'on a tous corrigé automatiquement, puisque les convexes compacts des Banach ont la prop de point fixe (mais on peut considérer que tu demandes si prop PF => homeo à un convexe quelque part, fusse dans un evt juste séparé)

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Tu es sûr que tu n'as pas raté la propriété en question c'est ici.

Je ne vois pas en quoi un convexe compact dans un Banach constituerait un contre-exemple à la réciproque.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Non, j'avais bien compris et tu as retiré "dans un ev de dim finie" et tu as eu raison, comme ça ta demande est plus réaliste (mais elle est toujours fausse grinning smiley ). Au hasard, un "T" a-t-il la prop du point fixe? Est-il homéomorphe à un convexe?

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Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Je ne sais pas ce que tu veux dire par "T", et je sais encore moins si un "T" est homéomorphe à un convexe.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Et même pourquoi un compact convexe dans un Banach, n'est pas toujours homéomorphe à un convexe de $\R^n$, tu as un exemple ?
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Soit $ \ell_{\infty} $ l'ensemble des suites bornées de réels muni de la norme infinie. Soit $K:=\{x \in \ell_{\infty} | \forall n \in \N, |x_n| \leq \frac{1}{n+1}\}$. Alors $K$ est compact (vérifier que les topologies des convergences simple et uniforme sont les mêmes sur $K$) et bien sûr convexe.
Or pour tout $n$ l'ensemble $K_n:=\{x \in K|\forall k \geq n:x_k=0\}$ est homéomorphe à $\prod_{k=0}^{n-1} [\frac{-1}{k+1},\frac{1}{k+1}]\subseteq \R^n $ qui contient l'ouvert $\prod_{k=0}^{n-1} ]\frac{-1}{k+1},\frac{1}{k+1}[$. Ainsi, par le théorème d'invariance du domaine, il n'existe aucun $d$ tel que $\R^d$ contienne une partie homéomorphe à $K$ ($\R^d$ ne pouvant pas contenir de partie homéomorphe à $K_{d+1}$).
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Un "T" a bien la propriété du point fixe puisque c'est un complexe simplicial fini contractile. Et je ne connais pas beaucoup de convexes compacts dont le complémentaire d'un point a trois composantes connexes.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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@Foys :
Merci beaucoup, pour ta réponse suffisamment détaillée, pour que je puisse la comprendre (ou plus précisément croire la comprendre).

Aurais-tu, aussi, un contre-exemple pour la réciproque de la propriété ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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@GaBuZoMeu : ok, merci.

Sinon une croix, symétrique en 0, dans la plan a-t-elle la propriété de point fixe, ?
Si oui, alors on a un contre-exemple plus simple.


Autant pour moi, une forme "T" dans le plan, je viens de comprendre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Je ne vois pas en quoi un "+" est plus simple qu'un "T". M'enfin, si ça peut te faire plaisir ... Tu peux prendre ausi un "H" un "$*$" ...
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Oui, je n'avais pas compris ce que voulais dire "T".

Quelle propriété utilises tu pour dire qu'un "T" admet un point fixe ?
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Non, un "T" n'admet pas de point fixe, mais toute fonction continue d'un "T" dans lui-même admet un point fixe, et j'ai déjà écrit pourquoi : parce qu'un "T", comme les autres exemples que j'ai donnés, est un complexe simplicial fini contractile. L'existence de points fixes pour toute application continue dans lui-même est, si l'on veut, une conséquence du théorème du point fixe de Lefschetz.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Merci.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
Ouah en 1 jour le nombre de post.
Re: Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
il y a trois années
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Bonsoir,

J'en profite pour remercier les participants pour l’intérêt qu'ils ont porté à ce fil.

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par contrexemple.
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