Opérateur compact
Bonjour, soit $F$^ fermé d'un espace de Hilbert H, on suppose que son orthogonal G est tel qu'il est munis d'une base hilbertienne orthonormée $(e_{i})$, soit $(\lambda_{n})$ suite qui tend vers 0.
On pose (avec y dans G.). $f : x = y + \sum_{i \in \mathbb{N}} x_{i} e_{i} \rightarrow \sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda_{i} x_{i} e_{i}$ bien définie je shouaite montrer qu'il est compacts.
Soit, $x_{n} = y_{n} + \sum_{i \in \mathbb{N}} x^{n}_{i} e_{i}$ suite de la boule unité, donc $f(\sum_{i \in \mathbb{N}} x^{n}_{i} e_{i}) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda_{i} x^{n}_{i} e_{i}$, comme à i fixé,$(\lambda_{i} x^{n}_{i})_{n}$ est bornée on peut trouver une extractrice $\phi$(par extraction diagonale.). tel que la suite de suite $((\lambda_{i} x^{\phi(n)}_{i})_{i})_{n}$ converge simplement vers $(x_{i})_{i}$. De là pour I assez grand soit $\epsilon > 0$, $\sum_{i > I}||x_{i}||^{2} < \epsilon$, par un argument de continuité si $(y_{i})$ est assez proche(au sens de la norme 2 des suites de carré sommable.). $\sum_{i > I}||x_{i} - y_{i}||^{2} < \epsilon$ de là j'aimerais bien(pour conclure en me servant du fait que $\lambda_{i} \rightarrow_{i} 0$ que il existe $N, I$ entier tel que $\{x_{i}^{n} | n > N, i > I\}$ soit bornée ce qui ne semble pas toujours être le cas.
Avez vous une idée je vous prie?
On montre facilement que les valeurs propres de f sont les $\lambda_{n}$. Que peut on dire de son spectre je vous prie?
Merci d'avance et bonne après midi:-).
On pose (avec y dans G.). $f : x = y + \sum_{i \in \mathbb{N}} x_{i} e_{i} \rightarrow \sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda_{i} x_{i} e_{i}$ bien définie je shouaite montrer qu'il est compacts.
Soit, $x_{n} = y_{n} + \sum_{i \in \mathbb{N}} x^{n}_{i} e_{i}$ suite de la boule unité, donc $f(\sum_{i \in \mathbb{N}} x^{n}_{i} e_{i}) = \sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda_{i} x^{n}_{i} e_{i}$, comme à i fixé,$(\lambda_{i} x^{n}_{i})_{n}$ est bornée on peut trouver une extractrice $\phi$(par extraction diagonale.). tel que la suite de suite $((\lambda_{i} x^{\phi(n)}_{i})_{i})_{n}$ converge simplement vers $(x_{i})_{i}$. De là pour I assez grand soit $\epsilon > 0$, $\sum_{i > I}||x_{i}||^{2} < \epsilon$, par un argument de continuité si $(y_{i})$ est assez proche(au sens de la norme 2 des suites de carré sommable.). $\sum_{i > I}||x_{i} - y_{i}||^{2} < \epsilon$ de là j'aimerais bien(pour conclure en me servant du fait que $\lambda_{i} \rightarrow_{i} 0$ que il existe $N, I$ entier tel que $\{x_{i}^{n} | n > N, i > I\}$ soit bornée ce qui ne semble pas toujours être le cas.
Avez vous une idée je vous prie?
On montre facilement que les valeurs propres de f sont les $\lambda_{n}$. Que peut on dire de son spectre je vous prie?
Merci d'avance et bonne après midi:-).
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Réponses
Le spectre ne contient que ces valeurs propres qui sont les $\lambda_n$.
La preuve que tu fais est effectivement basée sur l'extraction diagonale. Je n'ai pas compris quelques détails de ta preuve (notamment l'existence du $I$ pour commencer). Voici une preuve que j'ai faite il y a quelques semaines dans un topic similaire au tiens :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1303775,1303949#msg-1303949
Je te conseille pour ce type de questions d'écrire sur le forum analyse.
Le I c'est simple c'est un entier tel que $\sum_{i > I} ||x_{i}||^{2} < \epsilon$(par définition un reste partielle tend vers 0.
Et justement ma preuve n'est pas complète regarde ce que j'ai mis.
Avez vous une idée je vous prie?
Merci de dépalcer dans analyse si nécessaire.
C'est l'égalité de Parceval(les $x_{i}$ sont les composantes dans la base hilbertienne de la projection sur G qui est fermé comme orthogonal de F.).
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1311939,1312209#msg-1312209
Tu m'a juste montrer que la suite des somme partielle tend vers 0 OK.
Mon but était d'extraire de la suite $f(x_{n})$ une sous suite convergente(pour montrer que f est compact.). vois tu comment faire je te prie?
Si j'ai une réponse je vous le dit.
> \lambda_k x_k e_k ||^2 = \sum_{k\geq n} |\lambda_k
> ^2 x_k^2| \leq \sup \left \{ |\lambda_k|^2 \big |
> k \geq n\right \} \times \left (\sum_{k \geq n}
> |x_k|^2 \right) \leq \sup \left \{ |\lambda_k|^2
> \big | k \geq n\right \}$.
J'ai compris pour cela.
La je suis perdu. Si cette somme ne converge pas je ne vois vraiment pas.
$x=y+z$, avec $z\in H$, $y \in G$, $G,H$ supplémentaires orthogonaux et $z = \sum_{i=1}^{\infty} x_i e_i$.
Soit $F$ un espace de Hilbert voire un préhilbertien, $(v_n)_{n \in \N}$ des vecteurs deux à deux orthogonaux. Si $\sum_{k=0}^n v_k \underset{n \to +\infty}\longrightarrow v$, alors $\forall n, \sum_{k=0}^n ||v_k||^2=|| \sum_{k=0}^n v_k||^2 \underset{n \to +\infty}\longrightarrow ||v||^2$, la suite $n \mapsto \sum_{k=0}^n ||v_k||^2$ est donc bornée.
Il faudrait montrer que $\sum_{i}||x_{i}||^{2} < \infty$.
Ma question c'est(je le rappelle si cela interesse quelqu'un.). : si pour tout n entier, $\sum_{i} ||x_{i}^{(n)}||^{2} \leq 1$ alors je veut extraire de $(\sum_{i \in \mathbb{N}} \lambda_{i} x^{(n)}_{i} e_{i})_{n}$ une sous suite qui converge.
+ \sum_{i = 0}^{N}|| \lambda_{i}x_{i}^{(n)}||^{2} \leq \sum_{i = 0}^{N}||x_{i} - \lambda_{i}x_{i}^{(n)}||^{2} + \sum_{i = 0}^{+\infty}|| \lambda_{i}x_{i}^{(n)}||^{2} \leq 1 + \sum_{i = 0}^{+\infty}|| \lambda_{i}x_{i}^{(n)}||^{2}$, je prend I le minimum des entiers tel que $\sum_{i = I}^{+\infty}|| \lambda_{i}x_{i}^{(n)}||^{2} \leq sup(|\lambda_{k}|^{2}, k > I) \times 1 < 1$. J'ai donc $\sum_{i = 0}^{N}||x_{i}||^{2} \leq 2 + \sum_{i = 0}^{I} \lambda_{i}^{2}$.