Compacité => homéomorphisme

C'est aussi équivalent à montrer que l'image d'un fermé de $X$ est fermée dans $Y$ (et dans un espace séparé, une partie compacte est fermée).

D'une manière générale une application bijective continue fermée ou ouverte est un homéomorphisme.

L'hypothèse importante est aussi ici la séparation de l'espace d'arrivée sans quoi un compact ne pourrait être fermé.

Prendre $E = \{0, 1\}$ muni de la topologie discrète, $\{1\}$ est compact mais non fermé.

@algebre la question de maxtimax était de prouver la fermeture (ou l'ouverture) de sa bijection.

Merci pour la précision. Une question pourquoi dans la littérature anglo-saxonne ils omettent systématiquement le côté séparé. Je ne comprend pas. Y a une notion de pré compact?

Merci pour la réponse

christophe c écrivait:

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> 1/ Quel autre mot qualifie souvent un anneau dont la Zariski est quasi-compacte?

Salut Christophe. Je sèche. Commutatif ?

@max: t'as vu ça? C'est impressionnant!!

@GBZM: j'ai écrit tellement vite, que j'ai rajouté "souvent" exprès parce que je pensais à noethérien en un dixième de seconde, puis j'ai hésité. Mais maintenant que tu me demandes, je vais bien entendu y réfléchir!!

Il suffit*** de prouver que si pour tout premier $P$, il existe $a\in D$ tel que $a\notin P$ alors il existe une partie finie $F$ incluse dans $D$ telle qu'aucun premier $P$ ne soit tel que $F\subset P$.

Or les annelistes (alias les gens pour qui les anneaux sont routines) trouvent que c'est évident. Pour les autres, prendre l'idéal engendré par $D$ et le prolonger en un idéal maximal (qui sera premier). Et si pas possible blabla (axiome du choix utilisé soit dit en passant).

*** pour moi, mais je suis cruel, je ferai un deuxième post.

Plutôt les réunions finies de $D(a)$.

Tu es sûr Champ-Pot-Lion? Si $A$ est un anneau noetherien, $\mathrm{Spec}(A)$ est un espace noetherien, dont tous les ouverts sont quasi-compacts, et il y a des ouverts qui ne sont pas principaux (n'importe quel ouvert non affine). Par exemple $X = \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,y])$ et son ouvert $X \setminus \{(x,y)\}$.

EDIT: ah, ben doublé par GaBuZoMeu :P

Je fais un post soigné pour les lecteurs béotiens.

1/ D'après l'autre fil, $D(a):=$ l'ensemble des idéaux premier $P$ tels que $a\notin P$.

2/ J'appelle prétopologie, n'importe quel ensemble.

3/ J'appelle espace de la prétopologie $X$ la réunion des éléments de $X$.

4/ Soit $E$ un ensemble et $X$ un prétopologie dont l'espace est $E$. Alors l'ensemble des réunions d'intersections finies d'éléments de $X$ est une topologie sur $E$, notée "topologie engendrée par $X$"

5/ Soit $A$ un anneau commutatif. Je note $X:=$'ensemble des $D(a)$ quand $a$ parcrout $A$. La topologie que $X$ engendre sur $Spec(A)$ (qui est l'ensemble des idéaux premiers de $A$) s'appelle "topologie de "Zariski" sur $A$

6/ Théorème général: soit $E$ : pour tout $X$ ayant comme espace $E$, $X$ est quasi-compact sur $E$ ssi la topologie sur $E$ engendré par $X$ est elle-même quasi-compacte

7/ C'est à cause de (6) que j'ai fait un WLOG dans mon post précédent, MAIS:

8/ Comme pour tout idéal premier $P$, il y a équivalence entre:

8.1/ $a\notin P$ et $b\notin P$
et
8.2/ $ab\notin P$

il suit qu'il n'y a pas besoin de passer par les intersections finies, car des intersections finies de $D(a)$'s sont des $D(a)$.

9/ Il suit de 8 que mon WLOG est trivialement légitime

10/ Je laisse aux lecteurs le soin de prouver (6) en exercice. (Axiome du choix à utiliser)

11/ Précision: "être quasi-compact sur" a un sens sans avoir besoin de tenir compte du fait que la prétopologie est une topologie.