Espaces vectoriels normés (MP)

On a evidemment $\sup_{P\in B}\max_{x\in [0,1]}|P(x)-2|=\infty$ en considerant par exemple la suite de polynomes $P_n(x)=(x+1)^n.$

Salut

Notons $B'$ les polynômes de la boule unité pour $N'$

$B'= \{P \in \R[X] \;; \max_{t\in [-1,0]} |P(t)| \leq 1 \}$

On cherche $\inf_{P \in B'} \max_{t\in [0,1]} |2-P(t)|$

Il faut faire un dessin pour voir clair:
- représenter le polynôme $Q=2$
- se faire une idée de ce que sont les polynômes de la boule unité pour $N'$
- se faire une idée de ce que représente géométriquement la distance (pour la norme $N$) d'un de ces polynômes au polynôme Q
- se demander si cette distance peut être nulle...et pourquoi.

Les polynômes de $B'$ sont ceux dont la restriction à $[-1,0]$ prend des valeurs comprises entre $-1$ et $1$. En conséquence, la valeur en $0$ d'un polynôme de $B'$ est dans $[-1,1]$ donc...

Je te laisse finir.

Il faut essayer de rédiger.

Pour un polynôme $P$ quelconque de $B'$, on a $-1 \leq P(0) \leq 1$ donc $\max_{t \in [0,1]} |2-P(t)| \geq |2-P(0)| \geq 1$

Autrement dit $\inf_{P \in B'} \max_{t \in [0,1]} |2-P(t)| \geq 1 $

Mais comme le polynôme constant $R=1$ appartient à $B'$ et vérifie $ \max_{t \in [0,1]} |2-R(t)|=1$ , on peut affirmer que:
$d(Q,B')= \inf_{P \in B'} \max_{t \in [0,1]} |2-P(t)| =1$

Ça me semble étrange de vouloir utiliser l'inégalité triangulaire ici. Veux-tu me montrer ton raisonnement?

Voui mais ce n'est pas la question ici.