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Bonjour
$\N$ muni de la topologie dont les fermés sont les ensembles finis, $\R$ muni de sa topologie usuelle.
Si $f,g$ 2 fonctions continues de $\N$ dans $\R$ tel que $\exists a \in \N,\ f(a)=g(a)$, montrer qu'alors $f=g$.
édit : énoncé évident, remplacer par : [ www.les-mathematiques.net]
Je sais que CC sais.
édit : pour mettre en première page l'énoncé complet.
Bonne journée.
Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Une nouvelle question qui ne rime pas à grand chose : l'ensemble de toutes le fonctions de $\N$ dans $\R$ a la puissance du continu.
Par ailleurs, trois fautes de français dans la phrase
Tel quelle c'est évident, je reformule :
$\N$ munit de la topologie dont les fermés sont les ensembles finis, si $f,g$ 2 fonctions continues tel que $\exists a \in \N, f(a)=g(a)$, montrer qu'alors $f=g$.
@GBZM : on se croise souvent... 
Les 3 fautes ne sont toujours pas corrigées  malgré tes edit.
Enfin 4 avec le titre.
Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par christophe c.
C'est passé de trivial à grossièrement faux.
Et selon ton habitude, tu as modifié ton premier message en effaçant ce que tu avais écrit.
P.S. L'ensemble entier est toujours fermé, et $\N$ n'est pas fini. Enfin c'est un détail à côté d'autres énormités.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Du calme les amis, j'ai mis en tête un énoncé que j'espère maintenant complet.
Citation GaBuZoMeu :
Complètement faux, oui !
Tu es sûr ?
Bon, tu vas effacer tes messages d'ici quelques instants ...
P.S. : ah, si tu précises que ça arrive dans $\R$ avec sa topologie usuelle, c'est vrai.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Je te conseille, de parler avec ton ami (CC), il te fera peut-être entendre raison.
Bonne journée.
Citation de l'édit (que tu condamnes quand je les fais moi) :
P.S. : ah, si tu précises que ça arrive dans R avec sa topologie usuelle, c'est vrai.
Tu devrais remercier CC, de t'avoir envoyer un MP.
Bonne journée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Ai-je effacé quelque chose en éditant, comme tu as l'habitude de le faire ?
Tu devrais corriger : de t'avoir envoy é
Avis aux modérateurs : pourexemple a réussi à s'introduire dans l'administration du forum et à intercepter les MP avant que le destinataire les reçoive. 
Citation GaBuZoMeu :
Avis aux modérateurs : pourexemple a réussi à s'introduire dans l'administration du forum et à intercepter les MP avant que le destinataire les reçoive.
Un être logique qui verse dans la théorie du complot...
Bonne soirée.
Pour exemple as tu une source de ton exercice?
Gabuzomeu comment le sais tu?
@Algèbre : C'est une revisite d'un classique proposé par CC.
Citation Algèbre :
Gabuzomeu comment le sais tu?
Il ne le sait pas, c'est juste une faute de raisonnement de sa part.
Bonne soirée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
@Algebre : tu peux démontrer que toute fonction $f$ continue de $\N$ (avec la topologie dont les fermés sont les parties finies et $\N$) dans $\R$ (avec la topologie usuelle) est constante en supposant par l'absurde qu'il existe des entiers naturels $a$ et $b$ tels que $f(a)<f(b)$ et en considérant les fermés $f^{-1}({]{-\infty},(f(a)+f(b))/2]})$ et $f^{-1}([(f(a)+f(b))/2,+\infty[)$.
@GBZM : As-tu remercié CC de t'avoir donné la réponse ?
Bonne soirée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Pourquoi demandes-tu, n'as-tu pas lu le MP que je lui ai envoyé ?
P.S. Dans "Bonne soirée", on accorde l'adjectif avec le nom.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Citation GaBuZoMeu :
Pourquoi demandes-tu, n'as-tu pas lu le MP que je lui ai envoyé ?
Non.
Citation :
Dans "Bonne soirée", on accorde l'adjectif avec le nom.
Peut-être qu'en restant trop accroché à sa jupe tu rates l'essentiel.
@Algèbre :
En fait ce que GaBuZoMeu ne veut pas te dire, c'est que $\N$ muni de cette topologie est un ensemble dénombrable connexe (même séparé)... alors d'un coup c'est beaucoup plus simple comme cela.
Bonne soirée.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Citation
$\N$ muni de cette topologie est un ensemble dénombrable connexe (même séparé)
Tu peux démontrer que $\N$ avec cette topologie est séparé ?
P.S. Dans "en restant trop accroch é", accroché est un participe passé, pas un infinitif. Pour bien savoir lequel employer, essaie avec un verbe dont l'infinitif diffère à l'oreille du participe passé. Tu verras ainsi que "en restant trop prendre" ne va pas, et que "en restant trop pendu" va mieux.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Ok, c e n'est pas séparé...
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Les singletons sont fermés.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Citation GaBuZoMeu :
P.S. Dans "en restant trop accroché", accroché est un participe passé, pas un infinitif. Pour bien savoir lequel employer, essaie avec un verbe dont l'infinitif diffère à l'oreille du participe passé. Tu verras ainsi que "en restant trop prendre" ne va pas, et que "en restant trop pendu" va mieux.
C'est définitif, tu es devenu meilleur que mon correcteur d'orthographe.
Merci.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Quoi?
L'ensemble $\{1\}$ ne serait t il pas ouvert et fermée?
Écoutez je ne veut pas jouer les moralisateurs et n'offenser personne surtout mais vous ne résolvez rien ni l'un ni l'autre. Non seulement vous ne faîtes que vous dire j'ai raison et tu as tord sur des ton agressifs mais en plus vous renforcez le clihé comme quoi les scientifiques aiment se dire j'ai raison et tu as tord.
Non, les fermés sont les ensembles finis et l'ensemble $\N$ entier, donc il n'y a pas de fermé qui soit aussi ouvert... sauf $\N$ et $\{\}$.
Sauf à supposer que $\N$ est fini, ce qui ne me dérangerait pas, mais risque de contrarier les ZF-dogmatiques.
Bonne soirée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Je suis désolez mais si tu parles de la topologie induite par celle ce $\mathbb{R}$ qui est la même que la discrète les singleton sont des boules ouvertes et fermées.
Excuse moi tu parle de la topologie cofinie.
Citation :
Excuse moi tu parle de la topologie cofinie.
Sur $\N$, oui mais sur $\R$ c'est la topologie usuelle.
Pour répondre au problème soit une suite qui converge pour la topologie cofinie. Je crois qu'elle converge vers tout les réelles.
En particulier les fonctions continues sont les fonctions constantes.
Donc si f et g coincide en un point elles sont égales.
Car continu.
Oui, on répond en une ligne à cet énoncé.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Citation
Algèbre
Pour répondre au problème soit une suite qui converge pour la topologie cofinie. Je crois qu'elle converge vers tout les réelles.
Je ne vois pas le sens de cette phrase. Tu peux expliquer ?
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Heu non je recommence : la suite $(n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers N ce pour tout N entier au sens de la topologie cofinie.
@Algèbre : Je ne pense pas. (édit : je confonds les fermés avec ouverts)
Mais il te suffit de remarquer que $\N$ est connexe et dénombrable, et que sur $\R$ les seuls connexes aux plus dénombrables sont les singletons.
Ps : ça fait bien une ligne ?
édit autorisé par GaBuZoMeu conformément à son message ici : [ www.les-mathematiques.net]
Bonne soirée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
@Algebre : Ah, là on comprend mieux. Reste à en déduire qu'une fonction continue est constante.
Décidément, tu cherches toujours à passer par des suites, même quand c'est loin de s'imposer ! 
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par GaBuZoMeu.
@pourexemple : et en remplaçant $\R$ par un espace séparé quelconque ?
Il suffit que les seuls connexes dénombrables, de cette espace topologique, soient les singletons.
Oui, cela marche avec un espace séparé en général... cf la première preuve que tu as proposé à Algèbre...
Une démonstration pour un espace séparé quelconque ?
La démonstration du fait qu'une fonction continue de N avec la topologie cofinie dans un espace séparé est constante se fait très facilement.
Décidément, on passe notre temps à se croiser.
GaBuZoMeu écrivait : [ www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
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En prepa j'aimais faire des preuves par extractions de suite. Un jour je parle d'extraction en diagonale et mon profs me dit a force d'extraire en diagonale tu va finir en diagonal descendante.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
Pour tout x et y reelle
$f(n) \rightarrow f(x)$ comme $\mathbb{R}$ est séparé alors la limite est unique.
Donc f est constante.
J'aimerais savoir où pourexemple va cherché tous ces problèmes(ces casses têtes non classiques pour l'agreg.). je parles des problèmes qu'il post dans le shtam.
Bonjour,
Citation Algèbre :
je parles des problèmes qu'il post dans le shtam
Cela est un secret mal gardé.
édit (autorisé par GaBuZoMeu) PS : je ne suis pas le premier sur le forum : [ www.les-mathematiques.net]
Bonne journée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
$R$ muni de la topologie usuelle sépare ,
1) démontre que tout application $f : (N,T_(cofini)--> (R,U)$ continues alors $f$ constante
2) donc $f,g$ continues ==> constante , si $\exists a \in N $ tel que $f(a)=g(a)$ alors $f = g$ car $f , g $ constante
*****) le résultat est vraie si on remplacé $R$ par n'import quelle espace sépare
Bonjour,
Citation Algèbre :
J'aimerais savoir où pourexemple va cherché tous ces problèmes(ces casses têtes non classiques pour l'agreg.). je parles des problèmes qu'il post dans le shtam.
Tu as la réponse ici : [ www.les-mathematiques.net]
Bonne journée.
Merci de penser a moi 7 semaine après.
M'as-tu déjà demandé, de te montrer comment je procédais ?
PS : je rappelle que la question que tu posais, était adressée à GaBuZoMeu et non à moi.
Mais comme on dit, mieux vaut tard que jamais.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
J e n'ai pas tout suivi.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.
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©Emmanuel
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