Intersection d'un ouvert et d'un fermé ?
dans Topologie
Bonsoir !
Je me posais une question n'ayant pas compris l'explication de la prof et j'essayais d'y répondre seul mais je pense que j'aurai besoin d'un peu d'aide !
Je vous énonce le problème,
E = {(x,y,z) appartenant à R3, x2 -zxy +2y < 1 et 1 = x2 +2y2 +3z2 = 3 }
E est il un ouvert ? un fermé ? ni l'un ni l'autre ?
Ce que j'ai fait :
Notons f la premiere inéquation, fonction continue sur R3, F son ensemble, alors F = -1 (]-00;1 [)
Or (]-00;1[ ) est un ouvert de R, donc F est un ouvert de R3
Notons g la deuxieme inéquation, fonction continue sur R3, G son ensemble, alors G = f-1 ([1;3])
Or [1;3] est un fermé de R, donc G est un fermé de R3
Premier cas : E = F inter G
E = f-1 ({1})
Or {1} est ni un ouvert ni un fermé de R, donc E est ni ouvert ni fermé de R3
Deuxieme cas : E = F union G
E est ouvert sur f-1(]-00;1[), fermé sur f-1( [1;3]) et ni l'un ni l'autre sur f-1 ({1})
Ca me semble un peu trop simple quand je vois ce que la prof avait essayé de nous expliquer, avec de très vagues souvenirs ca parlait de complémentarité.(:P)
En espérant que vous pourriez m'aider, merci encore et bonne soirée !
Je me posais une question n'ayant pas compris l'explication de la prof et j'essayais d'y répondre seul mais je pense que j'aurai besoin d'un peu d'aide !
Je vous énonce le problème,
E = {(x,y,z) appartenant à R3, x2 -zxy +2y < 1 et 1 = x2 +2y2 +3z2 = 3 }
E est il un ouvert ? un fermé ? ni l'un ni l'autre ?
Ce que j'ai fait :
Notons f la premiere inéquation, fonction continue sur R3, F son ensemble, alors F = -1 (]-00;1 [)
Or (]-00;1[ ) est un ouvert de R, donc F est un ouvert de R3
Notons g la deuxieme inéquation, fonction continue sur R3, G son ensemble, alors G = f-1 ([1;3])
Or [1;3] est un fermé de R, donc G est un fermé de R3
Premier cas : E = F inter G
E = f-1 ({1})
Or {1} est ni un ouvert ni un fermé de R, donc E est ni ouvert ni fermé de R3
Deuxieme cas : E = F union G
E est ouvert sur f-1(]-00;1[), fermé sur f-1( [1;3]) et ni l'un ni l'autre sur f-1 ({1})
Ca me semble un peu trop simple quand je vois ce que la prof avait essayé de nous expliquer, avec de très vagues souvenirs ca parlait de complémentarité.(:P)
En espérant que vous pourriez m'aider, merci encore et bonne soirée !
Réponses
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Je t'invite à relire tout ce que tu as pu écrire et éditer le cas échéant avec davantage de rigueur, car il y a de gros soucis à plusieurs endroits...
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je pense que vous voulez dire $1\leq x^2+2y^2+3z^2\leq 3$
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Bonjour Meuh Phine.
Pourquoi 2 cas ?
L'ensemble des éléments qui sont "dans A et dans B" est-il $A\cup B$ ou $A\cap B$ ?
C'est une chose que tu dois savoir.
Ensuite, prenons des intervalles de $\mathbb R$, avec la topologie habituelle. I=[1,2], J=]3,4[, K=]0;5[, L=[3,8]. Comment sont $I\cap J, I\cap K,K\cap L$ ?
Dans ton cas, je en vois pas bien d'autre moyen que d'aller voir de près ce que sont F= {(x,y,z) appartenant à R3, x² -zxy +2y < 1} et G= {(x,y,z) appartenant à R3, 1 <= x² +2y² +3z² <= 3 } (j'ai rétabli les < oubliés dans ton message initial).
Autre chose : " F = f-1 (]-00;1 [)" puis "alors G = f-1 ([1;3])". Ce n'est pas le même f, donner le même nom à des objets différents est leplus sûr moyen de se tromper, et d’ailleurs c'est ce qui t'arrive ensuite :
"Premier cas : E = F inter G
E = f-1 ({1}) "
Je ne parle pas du "deuxième cas", complétement incompréhensible.
Bon travail ! -
En effet j'ai oublié les inférieurs ou égales, je me suis trompé en l'écrivant, mais je les ai pris en compte dans mon raisonnement.
"Dans A et dans B" => A inter B
"Dans A ou dans B" => A union B
Je voulais traiter les deux cas, j'aurai du mettre et/ou dans mon ensemble E.
I est fermé, J ouvert, K ouvert, L fermé
I inter J est ni l'in ni l'autre, vu qu'il n'y a pas d'intersection entre I et J
I inter K = [1;2] donc c'est un fermé
K inter L = [3;5[ donc ni l'un ni l'autre
On est bon où je raisonne mal par rapport a ca ?
f-1=(]-00;1[) donc ouvert de R3 car ]-00;1[ ouvert de R
g-1=([1;3]) donc fermé de R3 car [1;3] fermé de R (J'ai modifié ma notation pour ne pas m'y perdre)
f-1 inter g-1 = ({1}), donc c'est équivalent à f -1inter g-1 = ( [1] ), qui est un fermé de R3, donc E = f inter g, est un fermé
c'est juste?
Merci d'avoir répondu en tout cas -
"Je voulais traiter les deux cas, j'aurai du mettre et/ou dans mon ensemble E. "
Ce n'est pas du bon travail, tu ne peux pas faire les deux en même temps. Comme tu as commencé avec "et", continuons avec l'intersection.
"
I est fermé, J ouvert, K ouvert, L fermé
I inter J est ni l'un ni l'autre, vu qu'il n'y a pas d'intersection entre I et J faux
I inter K = [1;2] donc c'est un fermé
K inter L = [3;5[ donc ni l'un ni l'autre"
On est d'accord, sauf pour $I\cap J$.
"f-1=(]-00;1[)" ?? Incompréhensible.
Commence par définir de quoi tu parles, ton "Notons f la première inéquation" est assez bizarre, mais si tu décides que $f="x^2 -zxy +2y \le1$, f-1 n'a pas de sens.
Donc tu évites de faire de la bouillie qui ne fait que ressembler à des maths, tu définis clairement les objets dont tu as besoin et leurs noms, puis tu appliques des règles de cours.
C'est sûr qu'en écrivant n'importe quoi, c'est plus simploe que ce qu'a fait le prof, mais ça ne sert à rien
Cordialement. -
Ah je pense avoir compris mon erreur, I inter J = {Ø} donc fermé.
J'ai essayé de refaire mon problème à tête reposée, je pense, et j'espere avoir juste...
E = {(x,y,z) appartenant à R3, x2-zxy +2y < 1 ET 1 =< x2 + 2y2 +3z2 =< 3}
E Est il un ouvert ? un fermé ? ni l'un ni l'autre ?
Notons f = x2-zxy +2y < 1, continue sur R3 et appartenant à l'ensemble noté F.
Notons g = 1 =< x2 + 2y2 +3z2 =< 3 , continue sur R3 et appartenant à l'ensemble noté G.
F = f-1(]-00;1[) or ]-00;1[ est un ouvert de R, donc F est un ouvert de R3.
G = g-1([1;3]) or [1;3] est un fermé de R, donc G est un fermé de R3
Or :
E = F inter G
= f-1(]-00;1[) inter g-1([1;3])
ainsi l'image réciproque de E est le fermé {1}, donc E est fermé.
C'est mieux ?
Bonne soirée !
(Désolé pour les symboles inter et inferieur ou égale, je n'arrive pas a les faire apparaître, ca me met des points d'interogations) -
Pour le symbole infini, c'est $\infty$ dont le code est \infty (à mettre entre dollars) ; pour les inégalités, $\le$ (\le) ou $\ge$ (\ge).
Explicite ce que sont les fonctions f et g, ce n'est pas bien écrit. "l'image réciproque de E" : quelle image réciproque ? Il faut que tu te forces à être plus rigoureux. -
Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire viennent aisément
Nicolas Boileau.
Tant qu'on ne sait pas vraiment de quoi on parle ("Notons f = x2-zxy +2y < 1, continue sur R3 et appartenant à l'ensemble noté F. "), on écrit n'importe quoi !!!
Il y a sans doute ici une imitation d'une correction d'exercice pas comprise faute d'avoir appris ce qu'il utilisait. Même la notion de fonction semble totalement incomprise.
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