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Intervalle borné vs fermé

Envoyé par PinkMan 
Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
Bonjour,

Je me demande, c'est quoi la différence entre un Intervalle Borné et un intervalle fermé. Un petit exemple est le bienvenue :)

Merci et Bonne année
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
avatar
Salut,
Un intervalle borné est un intervalle dont les deux bornes (les extrémités) sont finies.
Par exemple, $\left]0;5\right]$ et $\left[1;2\right]$ sont bornés alors que $\left[3;+\infty\right[$ ne l'est pas.
Un intervalle est fermé si chacune de ses deux bornes est soit infinie, soit incluse dans l'intervalle (crochet vers l'intérieur).
Par exemple, $\left]0;5\right]$ n'est pas fermé alors que $\left[1;2\right]$ et $\left[3;+\infty\right[$ le sont.
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
Du coups [1;2[ U [3;+inf[ est-il considéré comme fermé, borné ou rien ?
de meme pour [1;2] U [3;+inf[ et [1;2[ U [3;5[

Merci :)
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
avatar
Les ensembles que tu proposes ne sont plus des intervalles.
On peut définir les deux notions (fermé et borné) dans le cadre des espaces métriques, par exemple. On se place dans $\R$ muni de la distance $(x,y)\mapsto\vert x-y\vert$.
Dans ce cas, on peut alors dire que le premier ensemble n'est ni fermé ni borné, le deuxième est fermé mais n'est pas borné, le troisième est borné mais n'est pas fermé.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
Merci beaucoup Philippe, vous venez d'éclaircir tt mes ambiguës.
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
avatar
La notion de fermé et borne sont relativement a la topologie , par exemple on peut trouvé un intervalle fermé par rapport a une topologie mais n'est pas fermé par rapport a autre , mais puisque vous n'avez pas précisez la topologie sur $\mathbb R$ on prend la topologie usuelle .
J'espère que je n'ai pas dit de bêtises.
Dom
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
Il l'a précisée puisqu'il a donné la distance qu'il considérait.
Mais c'est vrai que, sans précision, certains bouquins parlent de cette topologie par défaut ($\mathbb R$ en tant qu'espace normé). On dit parfois "topologie usuelle" pour désigner celle-là.

Bonjour,







Cordialement

Dom
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
La notion de "partie bornée" n'est pas une notion topologique, mais une notion métrique, ou liée à un ordre.
Re: Intervalle borné vs fermé
il y a deux années
avatar
Pinkman:

$]1;2[$ est un intervalle borné mais ce n'est pas un fermé (c'est un ouvert).

$]-\infty;2]$ est un fermé mais ce n'est pas un intervalle borné.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Pourquoi un intervalle est fermé quand il a + oo ou -oo dans une de ses bornes ? parce qu'il contient sa (ses) frontière(s) ?

Merci.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
$]0,+\infty[$ n'est pas fermé, que je sache.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Oui c'est vrai. Mais que se passe-t-il pour [0; +oo [ ? il est fermé ? alors que le crochet est ouvert en +oo ?
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
avatar
Bah c'est intervalle fermé tout simplement parce que c'est un intervalle et que c'est un ensemble fermé (pour la topologie usuelle). La définition de fermé ou d'ouvert en topologie ça n'a jamais été basé sur des histoires de crochets ouverts ou fermés.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Au-delà de ce que dit GaBuZoMeu (qui doit te conduire à préciser ton énoncé), la réponse à ta question dépend de la définition que tu utilises pour définir un ensemble fermé. Qui est donc à préciser également...
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Oui il est fermé dans $\R$.
Son complémentaire $]{-\infty}, 0[$ est ouvert.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
avatar
GBZM a raison de préciser dans $\R$, dans $\overline{\R}$ il n'est plus fermé par exemple. Preuve qu'il faut connaître les "vraies" définitions, et pas inventer des trucs avec crochet ouvert ou fermé qui n'a jamais eu lieu d'être.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Oui désolé d'avoir inventé enfin je n'ai pas fait exprès non plus.
Bref moi la définition que je connaissais c'est "un intervalle est fermé lorsqu'il contient sa frontière" mais peut-être cela a-t-il été inventé aussi ? (par qui ?) ça je ne peux pas vérifier...



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
avatar
Ta définition (qui n'est pas usuelle, j'ai déjà rappelé la définition classique, un intervalle fermé c'est un intervalle qui est fermé, sans blague) est juste.

En quoi $[0,+\infty[$ ne contiendrait-il pas sa frontière dans $\R$ ? Peux-tu nous donner sa frontière d'ailleurs ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Un intervalle fermé est un intervalle qui est fermé même si c'est la définition ça ne m'avance pas beaucoup...
Sa frontière ce sont les bornes ? je ne sais pas ?
Sinon l'autre définition que je connais c'est "un intervalle est fermé si son complémentaire est ouvert".



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par michael.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
avatar
Citation
totem
ça ne m'avance pas beaucoup...

Citation
totem
Sa frontière ce sont les bornes ? je ne sais pas ?

Bah visiblement, même si ma définition ne t'avance pas, la tienne non plus ...

Parler de topologie sans avoir suivi aucun cours de topologie, ce n'est pas facile.

Un intervalle fermé c'est un intervalle qui est fermé. On est ramené à se demander, c'est quoi la définition d'un ensemble fermé ? Et ensuite on a plein de petites propriétés sympas pour prouver qu'un ensemble est fermé. Maintenant je t'invite à regarder un cours et à nous poser tes questions, je ne vais pas refaire tout le cours de topologie dans les espaces métriques ici.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par skyffer3.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
avatar
totem : la deuxième définition que tu cites (un intervalle est fermé si son complémentaire est ouvert) est plus "classique" et probablement plus facile d'utilisation.
Dans ce cas, comme signalé par GaBuZoMeu, le complémentaire de $[0, {+\infty}[$ dans $\mathbb{R}$ est $]{-\infty}, 0[$. En utilisant la définition d'ouvert que tu possèdes (quelle est-elle ?), tu devrais pouvoir démontrer sans mal que cet intervalle $]{-\infty}, 0[$ est un ouvert de $\mathbb{R}$ et, donc, pouvoir conclure que $[0, {+\infty}[$ est bien fermé dans $\mathbb{R}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par michael.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Bon je vais bosser le cours en fait je n'y comprends rien après réflexion.

Merci pour vos éclaircissements

Dur dur à 38 ans ! ... sad smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
avatar
En maths on ne peut pas faire l'impasse sur les définitions et le cours. Bon courage !
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Oui on ne peut jamais faire l'économie du cours je vois bien...mais il est très difficile d'obtenir un niveau ne serait-ce que moyen en maths !

C'est mon but, mais j'ai été perverti par la physique et la chimie en chemin elles font des ravages grinning smiley
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Pourquoi parle-t-on de topologie usuelle ? il y en a qui sont inhabituelles ?

Merci.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Oui, mais si tu n'as pas vu la définition de ce qu'est une topologie, ça ne risque pas de t'aider beaucoup... On peut par exemple considérer la topologie discrète sur $\mathbb R$, où tous les singletons $\{x\}$ sont des ouverts ! On peut en fait en considérer une infinité de différentes. On se sert juste beaucoup plus souvent de la topologie usuelle (qui dérive de la distance donnée par la valeur absolue, et qui coïncide également avec la topologie de l'ordre sur $\mathbb R$).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Ah non zut c'est pas dans mon cours une topologie...
Par contre une relation d'ordre et une distance oui ça c'est bon ouf !
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
avatar
Pour compléter ce que dit Poirot, puisque tu sais ce qu'est une distance : la topologie discrète dont Poirot parle est celle issue de la distance $d$ définie pour tout $(x,y)$ dans $\mathbb{R}^2$ par $d(x,y)=0$ si $x=y$ et $d(x,y)=1$ sinon. Je te laisse vérifier qu'il s'agit bien d'une distance et que pour cette distance, les singletons sont bien ouverts.

Tu peux mettre d'autres distances sur $\mathbb{R}$ (plus généralement sur un ensemble $E$ non vide quelconque) que celle associée à la valeur absolue (distance usuelle, topologie usuelle). Un moyen d'en créer autant que tu veux :
soit $f$ une application injective de $\mathbb{R}$ (resp. $E$) dans $\mathbb{R}$. L'application $d_f$ définie pour tout $(x,y)$ dans $\mathbb{R}^2$ (resp. $E^2$) par $d_f (x,y) = \mid f(x) - f(y) \mid$ définit une distance sur $\mathbb{R}$ (resp. $E$) (à toi de vérifier que c'est bien le cas).

Un autre exemple : soit $d$ une distance sur $\mathbb{R}$ (resp. $E$). Les applications $d'$ et $d''$ définies pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ (resp. $E^2$) par $d'(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ et $d''(x,y)=min(1,d(x,y))$ sont deux distances sur $\mathbb{R}$ (resp. $E$).
Re: Intervalle borné vs fermé
l’an passé
Une fois que l'on a une distance $d : E \times E \to \mathbb{R}_+$ sur un ensemble $E$, on peut définir la notion de boule ouverte :

La boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ est l'ensemble

$B(x,r) := \{ y \in E \ | \ d(x,y) < r \}$

C'est à dire, l'ensemble des points qui sont à une distance de $x$ strictement inférieure à $r$.


Et alors on dit qu'un ensemble $U$ est ouvert, si pour chacun de ses points $x \in U$, il existe une boule ouverte centrée en $x$ contenue dans $U$ :

$\forall x \in U, \exists r > 0, B(x,r) \subset U$

Cette définition est à la base de la topologie dans les espaces métriques, qui est le cas le plus usuel (au moins pour les maths "simples").

Exercice de base : montrer qu'une boule ouverte est un ensemble ouvert (l'inégalité triangulaire est ton amie)

PS: Je ne suis pas sur que de commencer la topologie générale sans avoir les idées claires sur les bases de la topologie métrique soit pertinent pour le commun des mortels, mais je peux me tromper là dessus.
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