Intervalle borné vs fermé

Salut,
Un intervalle borné est un intervalle dont les deux bornes (les extrémités) sont finies.
Par exemple, $\left]0;5\right]$ et $\left[1;2\right]$ sont bornés alors que $\left[3;+\infty\right[$ ne l'est pas.
Un intervalle est fermé si chacune de ses deux bornes est soit infinie, soit incluse dans l'intervalle (crochet vers l'intérieur).
Par exemple, $\left]0;5\right]$ n'est pas fermé alors que $\left[1;2\right]$ et $\left[3;+\infty\right[$ le sont.

Les ensembles que tu proposes ne sont plus des intervalles.
On peut définir les deux notions (fermé et borné) dans le cadre des espaces métriques, par exemple. On se place dans $\R$ muni de la distance $(x,y)\mapsto\vert x-y\vert$.
Dans ce cas, on peut alors dire que le premier ensemble n'est ni fermé ni borné, le deuxième est fermé mais n'est pas borné, le troisième est borné mais n'est pas fermé.

La notion de fermé et borne sont relativement a la topologie , par exemple on peut trouvé un intervalle fermé par rapport a une topologie mais n'est pas fermé par rapport a autre , mais puisque vous n'avez pas précisez la topologie sur $\mathbb R$ on prend la topologie usuelle .
J'espère que je n'ai pas dit de bêtises.

La notion de "partie bornée" n'est pas une notion topologique, mais une notion métrique, ou liée à un ordre.

Pourquoi un intervalle est fermé quand il a + oo ou -oo dans une de ses bornes ? parce qu'il contient sa (ses) frontière(s) ?

Merci.

Oui c'est vrai. Mais que se passe-t-il pour [0; +oo [ ? il est fermé ? alors que le crochet est ouvert en +oo ?

Au-delà de ce que dit GaBuZoMeu (qui doit te conduire à préciser ton énoncé), la réponse à ta question dépend de la définition que tu utilises pour définir un ensemble fermé. Qui est donc à préciser également...

GBZM a raison de préciser dans $\R$, dans $\overline{\R}$ il n'est plus fermé par exemple. Preuve qu'il faut connaître les "vraies" définitions, et pas inventer des trucs avec crochet ouvert ou fermé qui n'a jamais eu lieu d'être.

Ta définition (qui n'est pas usuelle, j'ai déjà rappelé la définition classique, un intervalle fermé c'est un intervalle qui est fermé, sans blague) est juste.

En quoi $[0,+\infty[$ ne contiendrait-il pas sa frontière dans $\R$ ? Peux-tu nous donner sa frontière d'ailleurs ?

totem a écrit:

ça ne m'avance pas beaucoup...

totem a écrit:

Sa frontière ce sont les bornes ? je ne sais pas ?

Bah visiblement, même si ma définition ne t'avance pas, la tienne non plus ...

Parler de topologie sans avoir suivi aucun cours de topologie, ce n'est pas facile.

Un intervalle fermé c'est un intervalle qui est fermé. On est ramené à se demander, c'est quoi la définition d'un ensemble fermé ? Et ensuite on a plein de petites propriétés sympas pour prouver qu'un ensemble est fermé. Maintenant je t'invite à regarder un cours et à nous poser tes questions, je ne vais pas refaire tout le cours de topologie dans les espaces métriques ici.

Bon je vais bosser le cours en fait je n'y comprends rien après réflexion.

Merci pour vos éclaircissements

Dur dur à 38 ans ! ... :-(

Oui on ne peut jamais faire l'économie du cours je vois bien...mais il est très difficile d'obtenir un niveau ne serait-ce que moyen en maths !

C'est mon but, mais j'ai été perverti par la physique et la chimie en chemin elles font des ravages :-D

Oui, mais si tu n'as pas vu la définition de ce qu'est une topologie, ça ne risque pas de t'aider beaucoup... On peut par exemple considérer la topologie discrète sur $\mathbb R$, où tous les singletons $\{x\}$ sont des ouverts ! On peut en fait en considérer une infinité de différentes. On se sert juste beaucoup plus souvent de la topologie usuelle (qui dérive de la distance donnée par la valeur absolue, et qui coïncide également avec la topologie de l'ordre sur $\mathbb R$).

Pour compléter ce que dit Poirot, puisque tu sais ce qu'est une distance : la topologie discrète dont Poirot parle est celle issue de la distance $d$ définie pour tout $(x,y)$ dans $\mathbb{R}^2$ par $d(x,y)=0$ si $x=y$ et $d(x,y)=1$ sinon. Je te laisse vérifier qu'il s'agit bien d'une distance et que pour cette distance, les singletons sont bien ouverts.

Tu peux mettre d'autres distances sur $\mathbb{R}$ (plus généralement sur un ensemble $E$ non vide quelconque) que celle associée à la valeur absolue (distance usuelle, topologie usuelle). Un moyen d'en créer autant que tu veux :
soit $f$ une application injective de $\mathbb{R}$ (resp. $E$) dans $\mathbb{R}$. L'application $d_f$ définie pour tout $(x,y)$ dans $\mathbb{R}^2$ (resp. $E^2$) par $d_f (x,y) = \mid f(x) - f(y) \mid$ définit une distance sur $\mathbb{R}$ (resp. $E$) (à toi de vérifier que c'est bien le cas).

Un autre exemple : soit $d$ une distance sur $\mathbb{R}$ (resp. $E$). Les applications $d'$ et $d''$ définies pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ (resp. $E^2$) par $d'(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ et $d''(x,y)=min(1,d(x,y))$ sont deux distances sur $\mathbb{R}$ (resp. $E$).