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Propriété de Baire

Envoyé par yassinyassin100 
Propriété de Baire
il y a deux années
avatar
S'il vous plait quelqu'un peut m'aider un peu, et merci infiniment. Je cherche la démonstration d'équivalent suivant (Propriété de Baire)
$(E,T)$ espace topologique séparé
1) Tout famille dénombrable d'ouverts denses dans $E$ a une intersection dense dans $E$
2) Tout réunion dénombrable de fermés d'intérieurs vides est vide
J'ai besoin de la démonstration j'ai cherché dans google mais j'ai trouvé ça comme définition quelqu'un peut m'aider.
Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Propriété de Baire
il y a deux années
avatar
Salut,
L'adhérence du complémentaire est égale au complémentaire de l'intérieur et l'intérieur du complémentaire est égal au complémentaire de l'adhérence.
Re: Propriété de Baire
il y a deux années
Oui si tu préfère écris ainsi : soit A une partie d'un espace topologique $X$,
alors $\bar{cA} = c \dot{A}$.

Et $\dot{cA} = c\bar{A}$.

Ou $c$ designe le complementaire.
Re: Propriété de Baire
il y a deux années
Et le complementaire d'une union est egal a l'intersection des complemantaire.
Et le complementaire d'une intesection est egal a l'union des complementaire.
Re: Propriété de Baire
il y a deux années
avatar
Posons $Int(A)$ pour l'intérieur de A
Alors $Int(A)\subset A==>A^c\subset Int(A)^c $.et puisque $Int(A)^c$ fermé alors $\overline {(A^c)}\subset Int(A)^c $
S'il vous plait l'autre inclusion


Donc $Int(A)^c=\overline {A^c},$ et , $Int(A^c)=(\overline {A})^c $ Vrais ?

Merci



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par yassinyassin100.
Re: Propriété de Baire
il y a deux années
Oui peut être un moyens plus rapides :

Par definition : $\bar{A} = \bigcap_{A \subset F, F ~ fermee} F$(c'est le plus petit fermee qui contient A si tu veut des détalis dit le moi.).

Donc $c \bar{A} = c\bigcap_{A \subset F, F ~ fermee} F = \bigcup_{A \subset F, F ~ fermee} cF
= \bigcup_{U \subset cA, U ~ ouvert} U = Int(cA)$(l'interieur c'est le plus grand ouvert contenu dans A.).
Re: Propriété de Baire
il y a deux années
avatar
$(\bigcap_{A \subset F, F fermee} F)^c = \bigcup_{A \subset F, F ~ fermee} F^c =**????**** \bigcup_{U \subset A^c, U ~ ouvert} U = Int(A^c)$
J'ai pas compris ce passage **???*** !! C'est la première fois que je vois cette démonstration



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par yassinyassin100.
Re: Propriété de Baire
il y a deux années
C'est une histoire de description : les complementaire de fermee contenant A sont exactement les ouverts contenu dans $cA$.

En effet si $A \subset F$ avec F fermee alors le par passage au complementaire $cF \subset A$.

Reciproquement si $U \subset cA$ ouvert alors $A \subset cU$ et $cU$ fermee.
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