Propriété de Baire
dans Topologie
S'il vous plait quelqu'un peut m'aider un peu, et merci infiniment. Je cherche la démonstration d'équivalent suivant (Propriété de Baire)
$(E,T)$ espace topologique séparé
1) Tout famille dénombrable d'ouverts denses dans $E$ a une intersection dense dans $E$
2) Tout réunion dénombrable de fermés d'intérieurs vides est vide
J'ai besoin de la démonstration j'ai cherché dans google mais j'ai trouvé ça comme définition quelqu'un peut m'aider.
Merci.
$(E,T)$ espace topologique séparé
1) Tout famille dénombrable d'ouverts denses dans $E$ a une intersection dense dans $E$
2) Tout réunion dénombrable de fermés d'intérieurs vides est vide
J'ai besoin de la démonstration j'ai cherché dans google mais j'ai trouvé ça comme définition quelqu'un peut m'aider.
Merci.
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Réponses
L'adhérence du complémentaire est égale au complémentaire de l'intérieur et l'intérieur du complémentaire est égal au complémentaire de l'adhérence.
alors $\bar{cA} = c \dot{A}$.
Et $\dot{cA} = c\bar{A}$.
Ou $c$ designe le complementaire.
Et le complementaire d'une intesection est egal a l'union des complementaire.
Alors $Int(A)\subset A==>A^c\subset Int(A)^c $.et puisque $Int(A)^c$ fermé alors $\overline {(A^c)}\subset Int(A)^c $
S'il vous plait l'autre inclusion
Donc $Int(A)^c=\overline {A^c},$ et , $Int(A^c)=(\overline {A})^c $ Vrais ?
Merci
Par definition : $\bar{A} = \bigcap_{A \subset F, F ~ fermee} F$(c'est le plus petit fermee qui contient A si tu veut des détalis dit le moi.).
Donc $c \bar{A} = c\bigcap_{A \subset F, F ~ fermee} F = \bigcup_{A \subset F, F ~ fermee} cF
= \bigcup_{U \subset cA, U ~ ouvert} U = Int(cA)$(l'interieur c'est le plus grand ouvert contenu dans A.).
J'ai pas compris ce passage **???*** !! C'est la première fois que je vois cette démonstration
En effet si $A \subset F$ avec F fermee alors le par passage au complementaire $cF \subset A$.
Reciproquement si $U \subset cA$ ouvert alors $A \subset cU$ et $cU$ fermee.