ensemble fermé

HarryMomment · February 2017

bonjour,

ici mon objectif c'est pas montrer l fermeture de la sphere unité S mais plutot de savoir si ma demenstration est vraie ou pas,
j'ai fait : soit Xn une suite d'elements de S ( la sphere unité ) qui converge vers X, lors ||Xn|| converge vers ||x|| par continuité de la norme, alors ||x||=1 d'ou la fermeture. est-ce que cela est vrai ?

en generale est ce que cela est vrai : soit Xn une suite d'elements de A qui converge vers X, et f une conction continue sur A, alors f(Xn) converge vers f(X) donc f(X) appartient a A

merci beaucoup pour votre aide.

Poirot · February 2017

Ton raisonnement est juste. Par contre la fin ne veut rien dire. $f$ est définie sur $A$, quel est le rapport avec le fait que $f(x) \in A$ ?

Maxtimax · February 2017

HarryMomment : comme le dit Poirot, la fin de ton message n'a pas beaucoup de sens... Cependant, si tu cherches à généraliser ta preuve (ce qui est tout à fait louable), tu peux te demander, lorsque $f$ est continue, alors que dire de $f^{-1}(\{x\})$ pour $x$ dans l'espace d'arrivée (que l'on peut par exemple supposer séparé) ? Plus généralement encore, si $F$ est fermé, que dire de $f^{-1}(F)$ ?

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