Homéomorphisme de variétés à bord

Oui, il suffit de regarder l'action de l'homeo sur l'homologie d'un petit voisinage épointé.

Une variété topologique à bord c'est un espace topologique séparé et paracompact tel que tout point admette un voisinage homéomorphe à $\mathbf{H}_n=\{(x_1,...,x_n)\in \R^n|x_1\leq 0\}$ ou a $\R^p$.
Une variété différentielle à bord est la donnée d'une variété topologique à bord muni d'une famille couvrante d'homéomorphismes comme plus haut dont les applications de transition sont lisses sachant qu'une application définie sur l'intersection de demi espaces est dite lisse si 'est la restriction d'une fonction lisse sur un ouvert de l'espace ambiant contenant l’intersection des demi espace.
Un point est dit "point du bord" si il est envoyé sur un point de la forme $(0, x_2,..., x_n)$ par l'un des homéomorphismes (et donc tous les autres aussi) dans la définition. Le bord est le sous espace constitué des points du bord, c'est une variété topologique (resp. differentielle).

Non, je veux bien dire lisse= $C^\infty$ (eventuellement $C^k$ pour $k\geq 1$ mais c'est une convention tres rare et qui n'a pas beaucoup de sens car une varété differentielle $C^1$ peut etre équipé d'un structure lisse de manière unique).
Les fonctions de transitions entre homeomorphismes sont automatiquement continues, ca ne rajouterait aucune structure de les imposer continues... elles le sont deja.

Heu, avant meme de demander plus de précisions (tu realises deja que ton truc ne sera meme pas fonctoriel) quel et le but de ca?
Les théories homologiques sur disons les CW-complexes on les connait toutes....

Bah du coup, c'est pas une théorie homologique... N'avoir que la fonctorialité vis à vis des injections continues, c'est tres pauvre.
Quel est l'interet/le but ?

L'homologie simpliciale c'est bien pour calculer l'homologie ordinaire. Pas pour la définir, puisqu'on ne peut essentiellement rien démontrer dessus.
Je repose encore ma question quel est l'interet de ce que tu voudrais faire? Obtenir une présentation differente du cobordisme (non orienté je présume)?

Mais ton truc n'est même pas une théorie homologique a priori....

Heu... Sais tu ce qu'est une théorie homologique ?
D'autre part en modifiant les définitions pour obtenir une théorie homologique (par exemple en relaxant deja la condition d'injection), est ce que tu penses obtenir qqch d'autre que le cobordisme ?

Et t'as vraiment l'impression que ton groupe définit une théorie homologique !?
M'est avis que tu devrais le relire le Switzer ...

Non mais merci, je connais tres bien ce bouquin, ainsi que le théorème de représentabilité de Brown.
Je repose ma question: crois tu vraiment que ta "théorie" definit une théorie homologique ?
Indication: la réponse est non.

Ok, je perd mon temps en fait....