Réunion de convexes

L'intersection de deux convexes est....?

Ben si tu prend une partie convexe de $\mathbb{R}^d$ disons, ca devrait pas etre bien difficile de montrer qu'il possède un systeme fondamental de voisinage convexes qui se retractent pas deformation forte dessus.

En fait (topologiquement) tu as une sphère que tu prives de certains points, donc elle cesse d'être simplement connexe, sauf erreur de ma part.

Changement de cap, je tente une explication :

Soit $X_{n+1}=C_1,...,C_{n+1}$

Montrons qu'il existe $j\in\N^*$ et une fonction $h : X_{n+1}\times [0,1] \rightarrow \R^m$ continue, tel que $h(X_{n+1},0)=X_{n+1}$ et $h(X_{n+1},1)=X_{n-j}$.

Soit $i$ le plus grand tel que $C_{n+1} \cap C_{a_1} \cap C_{a_2}... \cap C_{a_i} = \emptyset$ et si on enlève le convexe $a_i$, on n'a plus une intersection vide.

S'il n'y a pas un tel $i$ alors $X_{n+1}$ est étoilée, donc contractile, sinon $i\geq 3$ (par hypothèse).


Il existe un hyperplan $H$, tel que $C_{n+1}\cap ...\cap C_{a_{i-1}}$ et les autres convexes ne soient pas dans la même composante connexe (délimité par H).

On prend la fonction continue (linéaire à "t" fixée) qui laisse inchangé la partie du plan avec les autres convexes et qui écrasent sur l'hyperplan (l'autres parties).

PS : l'idée est d'isolé la partie pour la contracté en un point sans avoir à changer l'autre et cela de manière continue

Cordialement.

En fait, l'idée serait de montrer que $X$ est contractile, pour cela procéder par étape, en essayant de contracter une partie (sans changer les autres), puis une autre ect... (vue que les parties sont en nombre fini, on peut supposer que le processus va s'arrêter) et donc par composition de ces fonctions on aura la contractibilité de l'ensemble (et donc par la même le fait qu'il est simplement connexe).

En fait je me rends compte avec l'exemple du tétraèdre cela ne marche toujours pas (car on peut avoir le nœud de l'étoile (partie étoilée) qui n'est pas sur l'hyperplan).

Krokop écrivait:

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> Je n'ai toujours pas compris: je ne connais pas la
> définition de système fondamental de voisinages
> et rétraction forte, bon je suppose que c'est la
> même chose que rétraction par déformation.

Retraction par déformation forte ca veut dire que ton homotopie est relative au sous espace sur lequelle tu retracte (i.e elle le laisse fixe).
Ce que je voulais signaler avec mon système fondamental de voisinage, c'est que tu peux prendre l"'epaississement" ouvert qui se retracte sur ton convexe qui soit "petite". Par exemple contenu dans n'importe quel $\epsilon$-voisinage tubulaire de ton convexe (i.e tu regardes l'ensemble des points qui sont a distance moins de $\epsilon$ de ton convexe).
>
> En gros si $C_i$ n'est pas ouvert on trouve un
> truc plus gros qui est ouvert et convexe qui se
> rétracte par déformation dessus et ce truc plus
> gros c'est que tu appelles "système fondamental
> de voisinages " ?

C'est en gros ca l'idée oui.