Action de $Sl_2(\mathbb Z)$
Bonjour,
Je considère pour tout $n$ entier $\Gamma[n] = \{\begin{pmatrix}a ~ b \\ c ~ d\end{pmatrix} \mid a \equiv d \equiv 1 \bmod n \ \text{ et }~ b \equiv c \equiv 0 \bmod n\}$ et je m’intéresse à l'action leurs actions sur $\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) > 0\}$.
J'ai montré que pour $n > 2$ l'action est propre et libre donc le quotient $\mathbb{H} \setminus \Gamma[n]$ est une variété analytique réelle de dimension 2.
Après je ne vois pas les points suivants : pourquoi $\mathbb{H} \setminus \Gamma[1]$ est homéomorphe au disque unité je vous prie ?
Pourquoi $\mathbb{H} \setminus \Gamma[2]$ est homéomorphe à la 2 sphère privée de 3 points je vous prie ?
Je ne vois pas comment construire les homéomorphismes.
Merci d'avance et bonne matinée :-).
Je considère pour tout $n$ entier $\Gamma[n] = \{\begin{pmatrix}a ~ b \\ c ~ d\end{pmatrix} \mid a \equiv d \equiv 1 \bmod n \ \text{ et }~ b \equiv c \equiv 0 \bmod n\}$ et je m’intéresse à l'action leurs actions sur $\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) > 0\}$.
J'ai montré que pour $n > 2$ l'action est propre et libre donc le quotient $\mathbb{H} \setminus \Gamma[n]$ est une variété analytique réelle de dimension 2.
Après je ne vois pas les points suivants : pourquoi $\mathbb{H} \setminus \Gamma[1]$ est homéomorphe au disque unité je vous prie ?
Pourquoi $\mathbb{H} \setminus \Gamma[2]$ est homéomorphe à la 2 sphère privée de 3 points je vous prie ?
Je ne vois pas comment construire les homéomorphismes.
Merci d'avance et bonne matinée :-).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Déjà $\Gamma(1)$ c'est $\text{SL}_2(\Z)$ si je ne dis pas de conne.ie. Peut être que si on regarde un domaine fondamental de l'action :
$z \in \mathbb{H}$ tel que $|\Re(z)| \leq 1/2$ et $|z| \geq 1$ avec un petit truc a enlever sur le bord.
Par exemple, l'arc de cercle unité entre $j+1$ et $i$ (dans le sens trigo) est identifié avec l'arc de cercle entre $j$ et $i$ (dans le sens pas trigo) par $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et la droite $\Re(z) = -1/2$ est identifiée avec la droite $\Re(z) =1/2$ par la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (la translation).
On doit pouvoir voir l'homéomorphisme ... mais bon voir c'est pas construire !
Après je ne vois pas quoi en faire.
Et peut-être qu'il s’identifierait à un disque unité mais je ne vois pas comment et en plus les points sur le bord n'ont pas de représentant dans $D$.
Tu as déjà utilisé ce type de dessin ici ou on indique les côtés que l'on recolle par une même couleur ?
je pense que c'est le même principe, faudrait que je fasse un dessin mais je n'ai pas d'appareil photo pour le joindre (td)
Sinon quelqu'un de plus pro que moi, va bien trouver une méthode pas trop complexe !
On est ok avec le domaine fondamental ?
Sur le cercle trigo tu places $j$, $i$ et $j+1$, avec $j$ la racine cubique de l'unité dans $\mathbb{H}$.
Au niveau de $j$ tu traces la droite vertical qui part $j$ et va a l'infini et tu fais pareil au niveau de $j+1$. ... on regarde la partie comprise au dessus du cerle trigo et entre les deux droites.
Le domaine que ça délimite c'est l'adhérence du domaine fondamental $\overline{D}$. Le problème c'est que ce n'est pas un domaine fondamental !
C'est à dire qu'il y a des points équivalents (sous $\text{SL}_2(\Z)$) dans $\overline{D}$ ... par exemple $j+2i$ et $j+2i+1$ ... la translation $z\to z+1$. Mais c'est presque un domaine fondamental quand même, il suffit de retirer à $\overline{D}$ le droite partant de $j+1$ et l'arc de cercle qui va de $j+1$ vers $i$ dans le sens trigo on enlève $j+1$ mais tu gardes $i$.
On peut regarder la projection canonique restreinte à ton domaine appelons la $D$.
Problème si elle est ouverte sur $\mathbb{H}$ je ne sais pas si elle le reste sur $D$ quand même :
Si on prend une boule centrée au bord droit notée $B$ alors je pense $\pi(B \cap D) = (\pi(B) \cap \pi(D) )\cup (\pi(B - 1) \cap \pi(D))$. Donc la projection est ouverte je pense.
Reste à voir que $D$ est homéomorphe à un disque.
Si tu veux on va le faire en deux temps.
1/ On se convainc de manière visuel que $ \text{SL}_2(\Z) \backslash \mathbb{H}$ est bien un disque ouvert.
2/ On ira mettre les mains dans le cambouis des actions propre libre etc et tout pour essayer de faire un truc clean si tu veux vraiment construire un truc clean !
Sinon, non on ne va pas voir que $D$ est un disque. Le problème est un peu plus délicat. Il reste un bout d'action de $\text{SL}_2(\Z)$ sur $\overline{D}$ et il faut en tenir compte.
Donc dans mon dessin : en fond bleu c'est le domaine fondamental. Ce que j'ai mis en rouge c'est la partie problématique.
Pour construire $ \text{SL}_2(\Z) \backslash \mathbb{H}$, Il faut que tu recolles la droite rouge avec la droite en pointillé $\Re(z) =-1/2$ et aussi l'arc de cercle rouge avec l'arc de cercle en pointillé. En gros tu plis le dessin selon la droite vertical au dessus de $i$ et tu ramènes la partie droite sur la partie gauche en recollant uniquement la droite rouge sur la droite en pointillé et l'arc de cercle rouge sur l'arc de cercle en pointillé, mais faut gonfler un peu le truc pour ne pas recoller les points intérieurs : ca donne une forme de cornet de fritte ... c'est ce cornet de fritte qui est homéomorphe à un disque ouvert, si je vois bien les choses :-D Tu arrives a voir ?
Excuse du temps de réponse.