Fermé dans un Banach

yassinyassin100 · May 2017

Bonjour
$E$ espace de Banach et $F$ sous espace de $E$
je suis besoin de montrer que si $dim(E/F)<\infty $ alors $F$ fermé

J'ai une seul information que si $dim(E/F)<\infty $ alors $G=E/F$ admet un supplémentaire fermé, et.... ?.
Une petite aidé ici Merci

Poirot · May 2017

Un supplémentaire dans quoi ?

yassinyassin100 · May 2017

Supplémentaire dans $E$,

NoName · May 2017

Heu... Y a des formes linéaires non continues sur un Banach.

Poirot · May 2017

Ton $G$ n'étant pas inclus dans $E$, il risque difficilement d'avoir des supplémentaires dans $E$. En dimension finie on obtient facilement un isomorphisme entre $E/F$ et n'importe quel supplémentaire de $F$ dans $E$, mais ici il faut faire plus attention.

yassinyassin100 · May 2017

Oui, c'est juste une remarque, qu'elle est fausse, je cherche une petite prouve pour la proposition.

NoName · May 2017

Ta proposition est fausse tu peux facilement construire des formes linéaires discontinues sur un Banach, meme sur un Hilbert par exemple $\ell^2(\Z)$.

yassinyassin100 · May 2017

La premier proposition dans un cours de Théorème de Fredholm dit que : soit $T$ de Fredholm et si $codim(Im(T))<\infty$ alors $Im(T)$ est fermé
Comment prouve cette résultat
Merci

NoName · May 2017

Cela résulte du theoreme de l'application ouverte.

Poirot · May 2017

Ton énoncé de départ est plus général et est faux comme te l'as expliqué NoName. De plus je croyais que dans la définition d'opérateur de Fredholm, la condition $codim(Im T)$ finie était déjà présente ?

Poirot · May 2017

Vu toutes les questions que tu poses ces temps-ci sur les opérateurs de Fredholm, je pense que tu ferais mieux de chercher des pdf détaillés en ligne. Celui-ci et celui-là ont l'air pas mal.

yassinyassin100 · May 2017

Oui la condition $Im(T)$ est fermé est deja présenté, mais certaine livre, définit l'opérateur de Fredholm, seulement avec les deux conditions que la dimension de $Ker T $ et la codimension de $Im(T)$ finie. et il donne le résultat $Im(T)$ est fermé comme corollaire, moi je cherche la prouve

yassinyassin100 · May 2017

@NoName Théorème ouvert appliqué a quel application ?

Poirot · May 2017

On dit "preuve" pas "prouve" :-D

yassinyassin100 · May 2017

@Poirot Oki

, vous avez un idee, le théorème d'application ouvert appliqué a quel application.?

NoName · May 2017

Soit $T: W\to V$ avec $W,V$ deux espaces de Banach et $T$ borné d'indice fini. Soit $F$ son image dans $V$ et $S$ un supplémentaire de $F$ dans $V$ qui est de dimension finie donc fermé, tu as une application $T\oplus 1:W\oplus S\to V$, qui est surjective continue et donc ouverte par le théorème de l'application ouverte, donc $T\oplus 1(W^c)=T(W)^c$ est ouvert dans $V$.