Ensemble des sous-sommes d'une série positive
Bonjour à tous,
Je coince sur cet exercice : RMS 127.2, Exercice 267 (Oral X MP) :
La deuxième expression de cet ensemble comme produit de suites semble être un appel à définir un produit scalaire dont on utilisera la continuité mais je n'arrive pas à trouver le bon espace. Si toutefois cette piste est la bonne...
Merci de vos tuyaux,
D3
Je coince sur cet exercice : RMS 127.2, Exercice 267 (Oral X MP) :
Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite à valeurs positives telle que $\sum u_n$ converge.
a) Montrer que $\left\{ \sum\limits_{n \in B} u_n \mid B \subset \mathbb N \right\} = \left\{ \sum\limits_{n = 0}^{+ \infty} u_n b_n \mid (b_n) \in \{0, 1\}^{\mathbb N} \right\}$ est un fermé.
La deuxième expression de cet ensemble comme produit de suites semble être un appel à définir un produit scalaire dont on utilisera la continuité mais je n'arrive pas à trouver le bon espace. Si toutefois cette piste est la bonne...
Merci de vos tuyaux,
D3
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Réponses
Essaie alors d'utiliser un argument diagonale(tes espaces sont métrisables.).
Comme $\{0, 1\}^{\mathbb{N}}$ est compact par Tychonoff alors l'image de cette application est ton ensemble du début et est donc compact.
Sauf faux souvenir, il n'y a pas de théorème de Tychonoff au programme de prépa.
Il faudra faire ça manuellement (en démontrant qu'il y a une structure d'espace métrique compact sur $\{0,1\}^{\N}$ par exemple, ou bien même en montrant directement la compacité séquentielle de $\left \{\sum_{n\in \N} b_nu_n \mid b \in \{0,1\}^{\N}\right \}$ à coup d'extraction croissantes de suites: si $(b_{n,m})_{n,m\in \N^2} \in \{0,1\}^{\N^2}$, montrer qu'il existe $\varphi:\N \to \N$ strictement croissante telle que pour tout $k\in \N$, $n\mapsto b_{\varphi(n),k}$ est constante à partir d'un certain rang et en déduire que $n \mapsto v_n:= \sum_{k\in\N} b_{\varphi(n),k}u_k$ est convergente.)
On peut poser $d(x, y) = \sum_{i = 0}^{n}\frac{1}{2}^{n} |x_{n}, y_{n}|$ et montrer la compacité pour la topologie associée à cette distance.
Et après tous c'est l'X : on a le droit de revenir à des problème que l'on connais(cf blague du Polytechncien et de la bouteille d'eau.).