Tore+systole

Bonsoir,

Étant donné un convexe $K$ d'intérieur non vide symétrique avec $0\in Int(K)$ on a une norme $N$ sur $\Bbb{R}^n$: la jauge de Minkowski, un avantage est que la boule unité n'est rien d'autre que $K.$

Si je quotiente $\Bbb{R^n}$ par un réseau $\Gamma$ on a un tore. Qu'est-ce que signifie dans ce cadre un lacet sur le tore? Doit-on toujours passer par la métrique plate ?



On définit la systole comme la plus petite longueur d’une courbe non contractile sur $\Bbb{T}^n$. Mais je suppose que dans ce cadre on définit la systole via la norme $N.$

Pour cela grâce au théorème de relèvement des chemins la longueur d'un lacet $\gamma$ sur le tore est celui de son relevé $\tilde \gamma.$

Le but étant de prouver qu'un final la systole sur le tore via $N$ n'est rien d'autre que $\inf( N(x): x\in\Gamma\setminus \{0\}).$


Comment faire ?

[EDIT: question légèrement modifié, désolé]