image inverse d'un compact

tomak
tomak
dans Topologie
Bonjour,

Dans une démo, on prend un compact dans une variété différentielle et on dit que l'image inverse par une fonction continue de ce compact est fermé. Pourquoi est-ce que ça c'est vrai?

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Parce qu'une partie compacte est fermée ?
  • christophe c
    christophe c
    C'est la séparation qui fait que compact=>fermé. "Compact" veut dire, en France "séparé et quasi-compact" où quasi-compact veut dire "pas de recouvrement ouvert sans sous-recouvrement fini"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • mojojojo
    mojojojo
    Ceci dit une variété est, par définition, séparée (et même métrisable).
  • remarque
    remarque
    La longue ligne est métrisable ?
  • mojojojo
    mojojojo
    Les définitions de variété topologique selon wikipédia, et selon Paulin contiennent toutes deux l'hypothèse de séparation et de séparabilité.

    Bon, mais comme c'est dit dans le poly de Paulin le point vraiment intéressant d'une variété est que chaque point a un voisinage homéomorphe à un ouvert de $\mathbf R^n$, pas vraiment qu'il en existe un plongement dans $\ell^2$...
  • remarque
    remarque
    Ah là là, le niveau baisse ! De mon temps, la longue ligne était une variété (pas ceci, pas cela, certes, mais une variété quand même).
    :-D
  • christophe c
    christophe c
    @remarque: comment définis-tu précisément la longue ligne? Est-ce que tu te contentes de joindre un ordinal et son successeur par une copie du segment $[0,1]$, ou est-ce que tu ajoutes plus? Parce que sinon, pour les ordinaux limite $L$ (sans prédécesseur), je ne vois pas (là maintenant) à quel ouvert de $\R^n$ peut être homéomorphe un voisinage de $L$? :-S
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • remarque
    remarque
    La longue ligne, c'est effectivement $\omega_1$ copies de $[0,1[$ mises bout à bout, avec la topologie de l'ordre. Enfin, ça c'est une demi-longue ligne, il faut en rajouter une autre dans l'autre sens après. Mais on ne va pas jusqu'au bout, si c'est bien ça ta question ?

    Edit : ah, tu veux dire qu'il y a déjà un souci pour dépasser $\omega_0$ ?*

    Editedit : oui c'est juste d'ailleurs, je ne me rappelle plus comment on fait. La page wikipedia se contente de dire qu'on peut le faire... :-(

    * tout en restant une variété.
  • mojojojo
    mojojojo
    @remarque : tout fout l'camp décidément !
  • remarque
    remarque
    Bah ouais, la preuve !
  • mojojojo
    mojojojo
    Pour la longue droite :

    Prenons $\omega$ le premier ordinal infini. On a une base de voisinages de $(\omega,0)$ avec les ouverts de la forme $](n,x);(\omega+m,y)[$, en envoyant $[(k,0);(k+1,0)[$ sur l'ouvert $[-2^{-k};-2^{-k-1}[$ puis les $[(\omega+k,0);(\omega+k+1,0)[$ sur $[k;k+1[$ ça marche pas ?
  • remarque
    remarque
    Bon disons que jusqu'à $\omega_0$, on reste homéomorphe à $[0,1]$. Mais il faut une recette qui fonctionne pour tout ordinal limite, ce qui risque d'être un peu pénible ?
  • mojojojo
    mojojojo
    On peut adapter ça pour aller plus loin. On envoit $[(\omega+k,0);(\omega+k+1,0)[$ sur $[1-2^{-k};1-2^{-k-1}[$ puis $[(\omega 2+k,0);(\omega 2+k+1,0)[$ sur $[3/2-2^{-k-1}; 3/2-2^{-k-2}[$, etc, etc...

    Toute la magie repose dans le etc :-D

    Edit : Mais sinon, blague à part, je ne sais pas comment on fait.
  • remarque
    remarque
    J'adore la magie ! :-D
  • christophe c
    christophe c
    Merci pour la précision remarque: j'avais oublié qu'on S'ARRETE à l'ordinal omega1 et d'ailleurs tu dis bien "LA" et non pas "une" longue ligne donc je ne suis pas excusable.

    Et oui un voisinage ouvert d'ordinal même limite dénombrable est bien homéomorphe à ]0,1[
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Je profite de ce sujet pour étaler mon ignorance : je ne comprends pas pourquoi un espace topologique recouvert par des ouverts homéomorphes à des ouverts de $\mathbb R^n$ n'est pas automatiquement séparé ? Si je prends $x$ et $y$ distincts dans cet espace, ou bien il y a deux ouverts de mon "atlas" (abusif, je sais) qui les sépare, ou bien j'en prends un qui contient les deux. À l'image par mon homéomorphisme, les deux points sont toujours distincts, je peux trouver deux ouverts les séparant, puis je reviens dans mon espace, et les deux ouverts images réciproques séparent $x$ et $y$. Où est l'erreur ? Un problème de topologie induite ?
  • christophe c
    christophe c
    Poirot a écrit:
    je ne comprends pas pourquoi un espace topologique recouvert par des ouverts homéomorphes à des ouverts de R^n n'est pas automatiquement séparé ?

    On peut même prendre n=1, et il n'y a pas tellement de "pourquoi" ;-) , c'est juste qu'il y a de tonnes d'espaces non séparés recouverts par des ouverts homéomorphes à $\R$.

    Par exemple, tu prends $\R$ muni de la topologie usuelle, $a\notin \R$, $E:=\R\cup \{a\}$, et comme voisinage de $a$, tu prends les parties de $E$ qui contiennent $a$ et qui, si on remplace $a$ par $0$ dedans, on obtient un voisinage de $0$ dans $\R$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Autrement dit, tu prends deux copies de $\R$ et tu les recolles suivant $\R^*$. Dans cet "atlas" formé de deux copies de $\R$, il n'y en a pas deux qui séparent les deux copies de $0$, et il n'y en a aucun qui les contient toutes les deux.
  • christophe c
    christophe c
    Oui, c'est ça. Je ne sais pas si ça fait une variété car wikipedia exige dans la définition la séparation, mais ça répond, je l'espère, à Poirot.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Merci pour ce contre-exemple, c'est limpide : chaque ouvert contenant le premier zéro intersecte chaque ouvert contenant le deuxième, l'espace ne peut pas être séparé, bien qu'il soit localement homéomorphe à $\mathbb R$. Mais alors où est-ce que ma "démo" précédente coïnce ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il me semble te l'avoir indiqué dans mon message.
  • christophe c
    christophe c
    @Poirot, je recopie ton argumentation:

    Tu as écrit: Si je prends x et y distincts dans cet espace,

    ou bien il y a deux ouverts de mon "atlas" (abusif, je sais) qui les sépare,

    ou bien j'en prends un qui contient les deux, donc blabla

    et nulle part, il ne figure "ou bien ni l'un ni l'autre" ;-)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Merci, c'est plus clair !
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