La topologie en mécanique
Bonjour,
Après quelques recherches pour mon sujet de TIPE, je me suis tourné vers un cadre plutôt "science physique".
Le sujet que je veux étudier est "l'optimisation topologique des matériaux".
Pour faire simple, il s'agit de l'optimisation de la forme des matériaux pour un problème donné, par exemple en mécanique, il s'agit de concevoir un objet le plus léger possible tout en restant assez résistant aux contraintes auxquels il sera soumis (un pont, des pièces automobiles ...).
Mais le problème c'est que je ne trouve pas assez de théorie pour ce genre de problème, qui sont la plupart du temps résolus numériquement par informatique.
Ma question est donc la suivante : est-ce que la topologie en tant que branche des mathématiques peut avoir un lien avec ce genre de problème ? C'est-à-dire, est-ce qu'à un niveau théorique, la topologie en maths peut me permettre de montrer l'unicité d'une solution à un problème d'optimisation de forme, ou même quitte à le simplifier au maximum, d'apporter des éléments de résolution ?
Merci d'avance !
Après quelques recherches pour mon sujet de TIPE, je me suis tourné vers un cadre plutôt "science physique".
Le sujet que je veux étudier est "l'optimisation topologique des matériaux".
Pour faire simple, il s'agit de l'optimisation de la forme des matériaux pour un problème donné, par exemple en mécanique, il s'agit de concevoir un objet le plus léger possible tout en restant assez résistant aux contraintes auxquels il sera soumis (un pont, des pièces automobiles ...).
Mais le problème c'est que je ne trouve pas assez de théorie pour ce genre de problème, qui sont la plupart du temps résolus numériquement par informatique.
Ma question est donc la suivante : est-ce que la topologie en tant que branche des mathématiques peut avoir un lien avec ce genre de problème ? C'est-à-dire, est-ce qu'à un niveau théorique, la topologie en maths peut me permettre de montrer l'unicité d'une solution à un problème d'optimisation de forme, ou même quitte à le simplifier au maximum, d'apporter des éléments de résolution ?
Merci d'avance !
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Réponses
Quelques individus qui font des maths sur la question, et pas que de la simulation numérique : Grégoire Allaire, François Jouve, Gilles Francfort (un petit doute sur ce dernier). De toutes façons, sans maths au départ, la simulation numérique n'irait pas très loin.
Je vois, donc ce n'est pas la même chose, je comprends mieux.
J'ai donc regardé quelques publications des personnes que vous avez citées, et grâce à vous j'ai trouvé de superbes références (et même des cours complets) pour pouvoir faire mes recherches !
Alors mille mercis, en plus d'éclaircissements, vous m'avez fourni indirectement toute la bibliographie nécessaire pour démarrer mon sujet.
<< Pour toute application continue $f$ de $J^2$ dans $\R$ telle que pour tout $x\in J: f(x,-1)<0$ et $f(x,1)>0$, il existe un connexe $C$ inclus dans l'image réciproque de $0$ par $f$ et tel que $\forall x\in J\exists y\in J: (x,y)\in C>>$
Je ne sais prouver ce théorème qu'avec les deux sortes de topologies, algébrique et générale, et j'ai besoin des deux dans la preuve, mais c'est surtout "l'algébrique" qui est "le fer de lance", la compacité n'intervient que pour intervertir 2 quantificateurs, puisque ce n'est qu'une variante de Brouwer qui donne $<<\forall f\exists (a,C): f^{-1}(a)\supset C$ et ..$>>$ et on peut passer à $\exists a\forall f$ avec la compacité et enfin, le $a$ ne peut être que $0$ pour des raisons évidentes.
Et bin j'aurais pensé que ce genre de phénomène n'est guère qu'utile (au moins de manière directe) justement en mécanique des matériaux, mais je me trompe. (Le C représentant une espèce de "ligne de force", etc, enfin tu vois ce genre-là)