Un théorème de Heine pour les groupes
Bonjour,
En essayant de montrer un lemme, je me suis demandé si on dispose de la version suivante du "théorème de Heine" pour les groupes topologiques.
Soient $G$ et $H$ deux groupes topologiques compacts. Si $f:G\longrightarrow H$ est une application continue, est-il vrai que pour tout voisinage $V$ de $1_H$ il existe un voisinage $U$ de $1_G$ tel que pour $x,y\in G$ on ait que $x^{-1}y\in U$ implique que $f(x)^{-1} f(y)\in V$?
J'en ai en fait besoin dans l'hypothèse où les neutres de chaque groupe ont un système fondamental de voisinage constitué de groupes ouverts et distingués, mais je pose la questions sans, au cas où...
Merci d'avance à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.
En essayant de montrer un lemme, je me suis demandé si on dispose de la version suivante du "théorème de Heine" pour les groupes topologiques.
Soient $G$ et $H$ deux groupes topologiques compacts. Si $f:G\longrightarrow H$ est une application continue, est-il vrai que pour tout voisinage $V$ de $1_H$ il existe un voisinage $U$ de $1_G$ tel que pour $x,y\in G$ on ait que $x^{-1}y\in U$ implique que $f(x)^{-1} f(y)\in V$?
J'en ai en fait besoin dans l'hypothèse où les neutres de chaque groupe ont un système fondamental de voisinage constitué de groupes ouverts et distingués, mais je pose la questions sans, au cas où...
Merci d'avance à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.
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Réponses
En d'autres termes, la preuve est la même que lors de tes études.
Je suis un peu étonné de ta trouvaille, mais je n'ai pas réfléchi en détails. Arriver à faire rentrer un sous-groupe voisinage du neutre tout entier dans un voisinage du neutre, ça me fait penser aux exemples de trains relativistes très long que je prends en les faisant entrer dans des hangars très courts :-D
Bon peut-être la compacité du groupe t'a-t-elle aidé, pourquoi pas, faut voir les détails, je ne connais rien par coeur (menfin en tapant je pense à $\R/\Z$ quand-même, tiens, du coup j'ai envie de te suggérer de revendiquer la prix Nobel**.. :-D )
** je poste vite, je peux me tromper sur le fait que tu l'auras ou que ton résultat le mérite.
D'après ce que tu m'a répondu plus haut, la seconde hypothèse semble néanmoins superflue...
Voici une preuve directe (mais qui est une copie de ce qui se fait dans le cas général):
Supposons que ce n'est pas vrai: les notions étant celles du post initial, soit $V$ un voisinage (ouvert sans perte de généralité) de $1_H$ contredisant la conclusion de l'énoncé. Soit$\mathcal V_G$ l'ensemble des voisinages de $1_G$ dans $G$ et $U\in \mathcal V_G$ ; soit $F_U:=\{(x,y) \in G^2\mid xy^{-1} \in U \text{ et }f(x)f(y)^{-1} \notin V\}$. Alors aucun des $(F_U)_{U\in \mathcal V_G}$ n'est vide et si $W_1,...,W_n \in \mathcal V_G$, $F_{\bigcap_{i=1}^n W_i}\subseteq \bigcap_{i=1}^n F_{W_i}$ par suite toute intersection d'une sous-famille finie des $(F_U)_{U\in \mathcal V_G}$ est non vide.
Donc (compacité de $G^2$) $\bigcap_{W\in \mathcal V_G} \overline {F_W} \neq \emptyset$. Soit $(p,q)$ dans cet ensemble.
Soit $U\in \mathcal V_G$. Soit $U'\in \mathcal V_G$ tel que $\forall r,s,t\in U',rst \in U$; soit $U''\in \mathcal V_G$ tel que $\forall x,y\in U'',xy^{-1} \in U'$. Soit $(a,b)\in F_{U''}$ tel que $pa^{-1} \in U',bq^{-1}\in U'$ ($(a,b)$ étant adhérent à $F_{U''}$). Alors $pq^{-1}=(pa^{-1})(ab^{-1})(bq^{-1})\in U$. Donc $pq^{-1}$ appartient à tous les voisinages de $1_G$ autrement dit $p=q$.
Soit maintenant $W$ un voisinage ouvert de $(p,p)$ dans $G^2$ tel que (continuité) pour tous $(a,b\in X)$, $f(a)f(b)^{-1} \in V$ (car $1_H=f(p)f()^{-1}(p)$ et $f$ est continue). Soit $U\in \mathcal V_G$, $F_U$ est non vide et rencontre $W$, contradiction (car par définition si $(x,y)\in F_U$, $f(x)f(y)^{-1}\notin V$).
@christophe c, il y a le groupe $\Z_p$ des entiers $p$-adiques qui vérifie ça.
Soit $p\in \N$ premier. Si $n,m\in \Z$ soit $v$ le plus grand entier naturel tel que $p^v$ divise $m-n$ et soit $d_p(m,n)=p^{-v}$. Alors $d_p$ est une distance faisant de $\Z$ un espace précompact. Son complété est un espace compact ($\Z_p$ c'est lui) et l'addition de $\Z$ se prolonge en addition sur $\Z_p$, ce dernier est toujours un groupe commutatif (en fait un anneau de valuation discrète) ayant une base de voisinages de $0$ consituée de sous-groupes.
D'ailleurs n'importe quel corps localement compact autre que $\R$ ou $\C$ possède lui aussi la propriété "étrange" (c'est essentiellement parce que leur topologie est définie par une distance ultramétrique).
$\Z_p$ est la boule unité du corps $\Q_p$ qui est aussi son corps de fractions.