Déduire la connexité par arcs

Je pense qu'il faut aussi supposer l'espace localement connexe par arcs.

Dans le cas localement connexe par arc :

On prend un recouvrement fini $(U_i)_{i=1,\ldots,n}$ de l'espace métrique $X$ par des ouverts connexes par arcs (cela existe par compacité et locale connexité par arc). Prenons 2 points $x$, $y\in X$, il existe une suite d'ouverts $(U_{i_j})_{j=1,\ldots,m}$ tels que $x\in U_0$, $y\in U_m$ et $U_{i_k}\cap U_{i_{k+1}}\neq \emptyset$ pour tout $k=1,\ldots, m-1$ (démonstration dans le paragraphe suivant). Puisque les $U_{i_j}$ sont connexes par arc et s'intersectent de proche en proche il existe bien un chemin continu entre $x$ et $y$ : $X$ est connexe par arc.

Pour voir l'existence de "ce chemin d'ouverts $U_i$" entre $x$ et $y$ on fait comme cela : On appelle $O_x$ l'ensemble des points qui sont reliés à $x$ par un chemin d'ouverts $U_i$. Cet ensemble est ouvert car les $U_i$ le sont et il contient $x$ (donc est non vide). Cet ensemble est aussi fermé : si $z_n\in O_x$ et $z_n$ converge vers $z$ alors il existe un $U_i$ contenant $z$ et donc contenant un $z_n$, puisqu'il existe une chemin d'ouverts $U_i$ entre $x$ et $z_n$ il en existe aussi un entre $x$ et $z$. On en déduit que $O_x=X$ et donc qu'il existe un chemin d'ouverts $U_i$ entre $x$ et $y$.

Cette démonstration utilise de façon cruciale la compacité, la connexité et la connexité par arc locale. Si on enlève une de ces hypothèses la démonstration ne marche plus. Si on remplace "localement connexe par arc" par "localement connexe" je ne sais pas si le résultat reste vrai. Est-ce que quelqu'un aurait un exemple d'espace métrique localement connexe mais pas localement connexe par arc ?

Disons qu'il faut quand même avoir un nombre au plus dénombrable d'ouverts $U_i$, sinon ça pose des problèmes.

@mojojojo : Ce que je fais d'habitude, c'est : on note $x\mathcal{R}y$ si $x$ et $y$ peuvent être reliés par un chemin. C'est une relation d'équivalence. Si l'espace est supposé localement connexe par arcs, chaque classe d'équivalence est ouverte. Et comme l'espace est connexe, il n'y a pas de partition en ouverts non triviale, et donc la relation n'a qu'une classe, c'est-à-dire que l'espace est connexe par arcs.

@toutoune : Pour ton problème à toi, je ne sais pas. Par contre, "ma" démonstration est déjà "complète" !
Je note $x\mathcal{R}y$ s'il existe $c : [0,1] \rightarrow E$ continue telle que $c(0) = x$ et $c(1) = y$. C'est une relation d'équivalence (c'est "classique"). L'hypothèse de connexité par arcs locale implique que les classes d'équivalence de $\mathcal{R}$ sont ouvertes. La connexité de $E$ implique qu'il n'y en a qu'une. Et donc, $E$ est connexe par arcs. Pas besoin de recouvrements.

Pourquoi métrique compact?

C'est superflu.

Prends un point. Prends $U$ l'ensemble des points qui admettent un chemin vers ce point.

Il est ouvert et fermé par locale connexité par arcs : chaque point qui se relie au point de départ est admet un petit voisinage connexe par arcs donc chaque point assez proche est reliable au point de départ par concaténation donc $U$ est ouvert.

Par un argument similaire le complémentaire de $U$ est ouvert.

Cette ensemble est non vide car contient le point initial donc $U$ égal l'espace ambiant par connexité.

Par concaténation deux points sont reliables par un chemin.

Ah OK excuse moi.

Si tu prend l'adhérence du graphe $\{(x, sin(\frac{1}{x}) | x \in ]0, 1]\}$ il est connexe compacte localement connexe mais pas connexe par arcs.

super fil, dommage que je ne l'ai pas vu. Mais le diable est dans les détails. L'idée ne garantit pas du tout la continuité du futur chemin obtenu à la limite, il y a du travail à accomplir avant.

De plus, je trouve ça un peu bizarre (mais c'est mon inculture crasse) que << tout métrique localement connexe et compact est localement connexe par arcs>> ne soit pas un théorème célèbre s'il a été prouvé. Mais bon, peut-être sa preuve publiée en premier n'est-elle pas assez "jolie"?

Avec les bons concepts ce genre d'exo peut se résoudre avec une rédaction courte.

Soit $X$ un espace topologique; disons que $x\in X$ est reliable à $y\in X$ s'il existe $a,b\in \R$ avec $a<b$ et $f\in C^0([a,b],X)$ telle que $f(a)=x$ et $f(b)=y$. La relation "reliable" est (facilement) réflexive, symétrique et transitive.

On en déduit aussitôt que si $X$ est localement connexe par arcs, pour tout $x\in X$, l'ensemble des points reliables à $x$ est non vide ($x$...), ouvert, et de complémentaire ouvert. Par suite si $X$ ets de plus connexe, cet ensemble est $X$ tout entier.

Est-ce qu'un espace métrique compact localement connexe est aussi localement connexe par arcs?
J'y crois pas vraiment mais il est difficile de trouver des exemples d'espaces connexes non connexes par arcs.

Edit : je viens de me rendre compte d'un trou dans mon argument : je ne sais pas comment faire pour choisir les $C_i^j$ pour qu'ils soient localement connexes... à creuser.

Bon je n'ai pas réussi à faire quelque chose de propre et concis. Voyez ça plutôt comme une "ébauche+" de preuve par rapport à l'ébauche de toutoune.

Soit $x$ et $y$ des points (distincts...) de $X$. On a vu que pour tout $r>0$ il existe un chemin fini de connexes non vides, de diamètre $\leq r$ reliant $x$ et $y$. L'adhérence d'un connexe est connexe donc on peut supposer ces connexes fermés et ça ne change pas leur diamètre.

Prenons un chemin de connexes de diamètre $\leq 1$ reliant $x$ et $y$, on les appelle $C_0^0, \ldots , C_{n_0}^0$. Ensuite on prend un point $z_1^0$ compris dans $C_0^0 \cap C_1^0$ et on relie $x=z_0^0$ et $z_1^0$ par des connexes fermés de diamètre $\leq 1/2$ et contenus dans $C_0^0$, ceci est possible car $C_0^0$ est lui même compact, connexe, localement connexe et métrique. Ensuite on choisit $z_2^0\in C_1^0\cap C_2^0$ et on relie $z_1^0$ et $z_2^0$ par un chemin de convexes fermés non vides, de diamètre $\leq 1/2$ et contenus dans $C_1^0$. On continu comme ensuite comme ça jusqu'à avoir relié $x$ et $y$ par un chemin de convexes fermés non vides de diamètre $\leq 1/2$ et avec la bonne propriété d'inclusion. On appelle (et on range dans l'ordre) ces convexes comme ceci : d’abord $C_0^{0,1}\ldots C_{n_{0,1}}^{0,1}$ pour ceux reliant $z^0_0$ et $z^0_1$, puis $C_0^{0,2}\ldots C_{n_{0,2}}^{0,2}$ pour ceux reliant $z^0_1$ et $z^0_2$ etc... jusqu'à arriver à $C^{0,n_0}_{n_{0,n_0}}$. On recommence ensuite avec des convexes fermés non vides de diamètre $1/4$ puis $1/8$ etc... etc... ad vitam eternam.


Maintenant on regarde les intersections de la forme $C_{\alpha(1)}^0\cap C_{\alpha(2)}^{0,\alpha(1)}\cap C_{\alpha(3)},^{0,\alpha(1),\alpha(2)}\cap\ldots$ où $\alpha(n)$ est à chaque fois un nombre entier admissible, c'est à dire que $\alpha(1)\leq n_0 $, $\alpha(2)\leq n_{0, \alpha(1)}$, $\alpha(3)\leq n_{0,\alpha(1),\alpha(2)}$... et donc que les noms de ces connexes correspondent bien aux connexes qu'on a construit. Ces intersections sont non vides et ne contiennent qu'un seul point de $X$ (par limite nulle du diamètre des connexes) et que l'on notera $(0,\alpha(1),\alpha(2),\alpha(3),\ldots)$. Ces points sont les points de notre lacet reliant $x$ et $y$. On muni l'ensemble des suites de l'ordre lexicographique, comme on le ferait avec le développement décimal d'un nombre réel (ou presque, cf phrase suivante). On identifie ensuite les points qu'il faut identifier de la même façon qu'on "identifie" $0.1999999\ldots$ avec $0.12$ et on obtient espace qui, muni de la topologie de l'ordre, est homéomorphe à $[0;1]$. Notons $\phi$ cet homéo. Utilisant $\phi$ on a donc une application $f$ de $[0,1]$ dans $X$ qui vérifie $f(0)=x$ et $f(1)=y$.

Reste à montrer la continuité du truc : si $s$ et $t$ sont deux éléments de $[0;1]$ assez proches alors les points de $X$, $\sigma=(0,\alpha_s(1),\alpha_s(2)\ldots)$ et $\tau=(0,\alpha_t(1),\alpha_t(2),\ldots)$ donnés par l'homéomorphisme $\phi$ sont eux aussi proches, ce qui implique que $\alpha_s(i)=\alpha_t(i)$ pour tous les $i$ jusqu'à un certain rang (assez grand ce rang) et donc que $\sigma$ et $\tau$ appartiennent au même connexe de diamètre $1/2^i$ et sont donc proches.






Bon si quelqu'un a une preuve moins dégueulasse en notations je suis preneur :-D

Et une petite précision spéculative sociologique. Notre champion*** Mister foys, je l'imagine mal ayant eu un overbookage total cet après-midi et ne pas s'être intéressé au problème.

M'est avis, qu'il a ou va regarder ce truc et que le temps qui passe montre que ce n'est pas trivial du tout (du moins si on ne prend pas son temps et un stylo). Mais je dis juste ça pour faire "des probas sur des données manquantes plus qu'autre chose).

*** En fait si l'argument central qui apparait dans vos posts marchait sans qu'il y ait de peine pour conclure avec la continuité, je pense que foys l'aurait, qui nous a habitués à ça, l'aurait posté intégralement et formellement comme il le fait souvent. Donc, ou bien il faisait autre chose aujourd'hui, ou bien il a "butté" sur la continuité.

je fais l'impasse par fainéantise d'écriture pour le moment

C'est comme ça qu'on risque de louper un ravin qui ne se voyait pas de loin. En ANS, en prenant $\epsilon$ superproche de $0$ et une suite finie $u_0=a, ..., u_n=b$ telle que $\forall i: dist(u_i,u_{i+1})<\epsilon$, on obtient comme application standard $f$ de $[0,1]$ dans $E$, celle telle que pour tout $c\in [0,1]$ standard, $f(c)$ est superproche de $u_k$ où $k$ est choisi comme le premier entier tel que $k\epsilon>c$.

C'est "limpide" ANS-ment, mais tu vois bien que rien n'oblige $f$ à être continue de manière évidente (on peut même assez facilement obtenir qu'elle ne le soit pas).

Personnellement, je serais plus attiré par une preuve consistant à prendre une intersection filtrante de compacts connexes bien choisis contenant $\{a,b\}$, avec un contrôle sur la décroissance de la largeur (comme pour Baire), l'intersection devenant "naturellement" un arc continu. (mais je sors manger, je vais essayer de me forcer à y penser)

christophe c a écrit:

je l'imagine mal ayant eu un overbookage total cet après-midi et ne pas s'être intéressé au problème.

Je verrai ça demain. Mais j'étais sincère quand j'ai dit que j'y croyais pas (ce qui n'engage que moi de toute façon et apparemment le résultat serait pourtant vrai; en plus je fais quasiment plus de maths et ai de plus en plus de mal à faire des choses très simples).
Si $C_0,C_1,...,C_n$ sont des connexes de diamètre inférieure à $\varepsilon>0$ donnée et tels que $x\ C_0$, $y\in C_n$ et $C_i\cap C_{i+1} \neq \emptyset$, quand on veut créer une chaîne de connexes de diamètre inférieur à $\frac{\varepsilon}{2}$ contenue dans $C_i$ le problème va être qu'on ne contrôle pas le nombre de tels connexes, qui dépend de $i$, il y a un certain nombre de complications à gérer.

L'utilisation de la connexité des $C_i$ est indispensable, puisque:
-tout espace métrique connexe est bien enchaîné(*)
-la réciproque est vraie pour un espace métrique compact.


Pourquoi l'exo n'est pas vraiment immédiat?
La plupart des espaces métriques connus sont
-des variétés différentielles
-des parties d'evn définies par des conditions "gentilles"
-des nuages de points dégueulasses.
Bref aucun candidat pour un contre-exemple. Cependant il est difficile de construire des applications continues d'un intervalle de $\R$ dans un espace métrique abstrait.


[size=x-small](*) Dans un espace métrique $(E,d)$, si $\varepsilon>0$, on dit que deux points $x,y\in E$ sont reliés par une $\varepsilon$-chaîne s'il existe $n\in \N$, $a_1,..a_n\in E$ tels que $a_1=x,a_n=y$ et $\forall i\in\{1,2,...,n-1\}, d(a_i,a_{i+1})<\varepsilon$. Un espace métrique est dit "bien enchaîné" si pour tout $\varepsilon>0$, tout couple de points dudit espace est reliable par une $\varepsilon$-chaîne.
Pour tout $\varepsilon>0$, le fait pour un couple d'être reliable par une $\varepsilon$-chaîne constitue une relation d'équivalence dont les classes sont ouvertes; par suite il est trivial qu'un espace métrique connexe est bien enchaîné. Si réciproquement un espace métrique est compact et non connexe, il existe $Y,Z$ disjoints tels que $X=Y\cup Z$, et tels que $Y$ et $Z$ sont fermés donc compacts. On a donc $r:=\inf\{d(a,b)\mid(a,b)\in Y\times Z\}>0$ et un couple de $Y\times Z$ ne peut pas être relié par une $\frac{r}{2}$-chaîne.
La généralisation de cette notion aux espaces uniformes ainsi que les propriétés évoquées sont immédiates.
[/size]

Dans le passe sur le forum j'avais proposé une propriété : l'honnêteté. Un espace métrique est honnête quand la distance entre les points est bien "une mesure du plus court chemin virtuel par la route" (calculé avec des sauts donc ce ne sont pas des arcs)

Associé à ça une conjecture: tout espace où toute fonction est homotope à une constante a un point fixe dès que l'espace est métrique honnête compact.

L'intérêt est que sans les supposer on a automatiquement des arcs dans les espaces honnêtes compacts sauf si la distance est infinie.

Je pense qu'il suffit de prouver qu'un complet loc connexe produit des arcs de longueur finie du coup.

@CC : en fait il existe (de mon point de vue) deux difficultés à la preuve : montrer qu'on a bien une suite de chaînes de connexes emboîtées, ou bien, montrer qu'on a continuité. Mais pas les deux à la fois. Avec les idées de démonstration de toutoune et moi-même je maintiens que la continuité n'est pas très difficile (mais technique) et que c'est la construction des connexes qui doit être faite soigneusement.

Voilà une autre idée de démonstration (que je ne sais pas faire marcher) : on prend des chaînes de fermés reliant $x$ et $y$ de diamètre inférieur à $1/n$. Pour chaque chaîne on prend un point dans le connexe "du milieu", si on a $2n+1$ connexe on prend le $n+1$-ième et si on en a $2n$ on prend le $n$-ième par exemple. $X$ est compact donc on peut extraire une sous suite convergente. On recommence ensuite de la même façon avec tous les dyadiques et par un procédé d'extraction diagonale on obtient une fonction des dyadiques de $[0;1]$ dans $X$ qui relie $x$ et $y$. Ensuite, et c'est là ou ça coince, il faudrait montrer la continuité de cette fonction pour pouvoir la prolonger en une fonction continue de $[0;1]$ dans $X$. Là c'est effectivement pas sûr du tout qu'on obtienne quelque chose de continu si, par exemple, on n'a pas de bornes sur le nombre de connexes de chaque chaîne.

Ici les chaînes ne sont pas emboîtés donc on a un problème de continuité, moi je dis que si l'on arrive à construire des chaînes emboîtées alors la continuité n'est plus vraiment un problème.


@Foys : c'est un peu sous estimer la complexité topologique possible de certains espaces métriques :-D
-Pour les nuages de points on peut trouver par exemple le tipi de Cantor qui est un sous ensemble de $\mathbf R^2$ connexe mais qui devient totalement discontinu si on lui retire un point bien choisi. On a aussi les $p$-adiques qui ont des distances ultramétriques et sont homéomorphes à des ensembles de Cantor privés d'un point.
-pour les sous parties d'EVN on peut penser au cercle polonais, à des espaces pas localement simplement connexes, au peigne de Dirichlet etc.

En tout cas merci pour la notion de "bien enchaîné", cela vient combler le trou de ma démonstration signalé en édit.


Merci aussi Blueberry pour la référence ! Si le résultat est dans deux livres différents on peut quand même espérer qu'il soit vrai :-D Commes les autres je suis étonné que ce résultat ne soit pas plus connu. C'est peut-être effectivement du à la difficulté de la démonstration.

Il me semble qu'il manquera toujours un argument avec ces idées la sinon l'ANS le ferait voir immédiatement!

Par contre effectivement au lieu de prendre n'importe quelle epsilon suite on peut prendre une des plus courte et là ça semble marcher mais avec toujours un point delicat