Borélien de $\mathbb R_+^*$

s30 · June 2017

Bonjour,

J'aurais besoin de quelques explications concernant un exercice.
Je dois montrer que si A est un borélien de R+* alors A/x={a/x, a appartient à A} est aussi un borélien de R+*.
J'ai vu un exercice similaire où il était suggéré de s'intéresser aux éléments générateurs de la tribu borélienne (c'est-à-dire les intervalles ]a,b[) et puis de montrer que les intervalles ]a/x,b/x[ génèrent le même borélien. Le problème est que je ne comprends pas en quoi cela montre que A/x appartient au borélien de R+*.

Merci

marco · June 2017

Bonjour,

Soit $\tau$ la tribu des boréliens, soit $x >0$, tu peux montrer que $\tau'=\{A/x~ |~ A \in \tau\}$ est une tribu.

s30 · June 2017

Je vois comment montrer que tau' est une tribu. Mais en quoi cela prouve que cet ensemble appartient au borélien? Toute tribu n'appartient pas au borélien, si?
Ou alors peut être que tau' = tau et donc cela conclut?

Maxtimax · June 2017

s30: tu peux peut-être essayer de montrer que $\tau'$ contient tous les $]a, b[$ et est engendrée par eux ?

s30 · June 2017

Je crois avoir compris ce que tu me suggères Maxtimax.
Je montre que les ]a,b[ sont dans tau' ( ils sont dans tau et donc on pose a'=xa et b'=xb ce qui donne que les ]a'/x, b'/x[=]a,b[ sont dans tau') et vue que les ]a,b[ engendrent tau alors les ]a/x,b/x[ engendrent tau'.
De plus la tribu engendrée par les ]a/x,b/x[ est la même que celle engendrée par les ]a'/x,b'/x[ et donc est égale à tau. Ainsi tau=tau'
Et il ne devrait plus me rester qu'à conclure

C'est bien ça?

marco · June 2017

J'ai fait une erreur. Il faut plutôt considérer $\tau''=\{A \subset \R^{+*}~|~A/x \in \tau\}$. On montre que $\tau''$ est une tribu qui contient tous les intervalles. Donc elle contient les boréliens, etc...

Poirot · June 2017

@s30 : oui c'est l'idée :-)

s30 · June 2017

Merci pour l'aide, je devrais avoir compris les deux méthodes que vous m'avez proposé

Je suis nouveau forum et ne sait pas très bien comment il fonctionne. Faut-il que je marque le sujet comme résolu ou quelque chose dans le genre?

Poirot · June 2017

Le sujet va lentement tomber dans l'oubli tant que tu ne le remontes pas (ce qui est ton droit si jamais tu as d'autres questions à poser sur le même sujet), ne t'en fais pas ;-)

Borélien de $\mathbb R_+^*$

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