Continuité et densité de vecteurs aléatoires

s30
s30
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

J'ai un quelques problèmes avec un exo si ce n'est avec sa totalité. J'ai une photo de l'énoncé au message.
Bien sûr j'ai fait ce que j'ai pu mais même ça j'en suis pas sûr.

Question1:
J'ai dit P(XK =x)= P( Xi =x | K=i)= P(Xi=x) par indépendance. Ainsi Xi et XK ont même loi et X_i est continu

Question 2:
D'après question 1 XK et XL sont continus alors le vecteur composé des 2 est continu. J'aurais tendance à dire que la phrase précédente est vrai mais j'en doute tout de même un peu.

Question 3:
Cette question est celle pour laquelle je suis vraiment dans le flou. Si la première phrase que j'ai énoncé à la question est vrai alors je pourrais montrer que le min de mes Xi est continu tout comme leur max.
Dans ce cas mon idée est de passer par les fonctions de répartition du min et du max et montrer qu'elles sont dérivables ( pas de soucis à ce niveau) mais alors pourquoi le calcul des fonctions de répartition me serait demandé à la question 5?
A part cette idée c'est le vide

Question 4:
E(fi(u)) est l'intéégrale de fi(u,v)*f(u,v) ( avec f densité de U) mais une fois cette formule de base énoncée je n'ai aucune idée de comment parvenir à la densité de U.

Question 5::
Pas de problèmes à ce niveau là


J'en serai trés reconnaissant à toute personne pouvant me débloquer parce que même aprés le long moment passé dessus j'ai l'impression de ne pas avoir avancé du tout ou d'avoir fait des trucs faux.
Et désolé pour les bêtises que j'ai pu écrire mais c'est le type d'exercice où je suis le moins à l'aise64440

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ta réponse à la question $1$ n'a pas de sens, c'est quoi $i$ ? Il faut le fixer quelque part si tu en parles, et ici ça ne marchera pas dès que tu fixes un $i$, il faut raisonner autrement. De plus, comme $X_i$ est continue, $$\mathbb P(X_i=x)=0$$ pour tout $x \in \mathbb R$... Ce n'est pas comme ça que l'on caractérise la loi d'une variable aléatoire continue !

    Par Radon-Nikodym il te suffit de montrer que la loi de $X_K$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, ce qui est facile.
  • s30
    s30
    Ah oui effectivement pas très malin comme erreur.

    Pour montrer l'absolu continuité est ce que je peux dire que si lambda(A) = 0 ,sachant que lambda est diffuse (je pense que si une mesure sur R est diffuse et que si mesure(A)=0 alors A est une union de singleton) et que tous mes Xi sont continus alors P(Xk appartient à A) est forcément nul ( de la même manière que P(Xi=x)=0) ?

    Et si oui faut il réitérer la même méthode à la question 2 ou ce que j'ai dit?
  • Poirot
    Poirot
    Tu peux écrire que $$\mathbb P(X_K \in A) = \mathbb P(\bigcup_{i=1}^k \{K=i\} \cap \{X_i \in A\}) \leq \mathbb P(X_1 \in A) + \dots + \mathbb P(X_k \in A) = 0$$ pour tout borélien $A$ tel que $\lambda(A)=0$, car les $X_i$ sont continues donc leurs lois sont absolument continues par rapport à $\lambda$.

    Pour la question $2$, le même genre d'argument devrait marcher, grâce à l'indépendance et le fait que les produits de boréliens engendre la tribu borélienne sur $\mathbb R^2$.
  • Lucas
    Lucas
    > (je pense que si une mesure sur R est diffuse et que si mesure(A)=0 alors A est une union de singleton)

    Attention :
    * Si tu veux dire "union quelconque" alors c'est vrai mais trivial : tout ensemble est une union de singletons
    * Si tu veux dire "union dénombrable" c'est faux, il y a des ensembles de mesure de Lebesgue nulle qui sont plus compliqués que ça.
  • Poirot
    Poirot
    Pour compléter la réponse de Lucas : l'ensemble de Cantor est non dénombrable mais de mesure de Lebesgue nulle.
  • s30
    s30
    >Pour la question 2, le même genre d'argument devrait marcher, grâce à l'indépendance et le fait que les produits de boréliens engendre la tribu borélienne sur R2.

    j'en déduis que si X1 et X2 sont continus alors (X1,X2) si nos variables sont indépendantes.

    Lors de la rédaction faut il que je fasse la distinction entre XK=XL et le cas ou ils sont différents?


    Pour la question 3:
    Passer par les fonctions de répartition et dire qu'elles sont dérivables me donne la continuité du min et du max, mais sans l'indépendance je ne peux pas conclure.
    Je me suis également dis que la question 2 devait servir à montrer la question 3 mais je n'arrive pas à un lien entre ces deux questions en avant.
    Ici faut-il que je réutilise la méthode de l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue ou alors que je parte sur une autre piste?
  • Poirot
    Poirot
    Pas besoin de distinguer de cas, il suffit d'écrire $\mathbb P(X_K \in A, X_L \in B)$. Mais je t'ai dit une bêtise car $K$ et $L$ ne sont pas supposées indépendantes. Il n'empêche que la méthode marche quand même. On prend un borélien $A$ de $\mathbb R^2$ de mesure de Lebesgue nulle, alors $\mathbb P((X_K, X_L) \in A)=0$ en développant comme précédemment.

    Pour la 3, tu peux remarquer que ton $U$ est de la forme $(X_K, X_L)$ avec $K$ et $L$ bien choisies et utiliser la 2 ;-)
  • s30
    s30
    Je pensais prendre K: (X1,...,Xn) --> i tel que X(i)=min(X1,...,Xn)
    et pout L simplement remplacer min par max.
    Mes fonctions sont mesurables donc elles devraient bien être des variables aléatoires ce qui me donnerait la question 3.
  • s30
    s30
    Pour la densité de la question 4 je dirais:

    U=(X1,X2) ou alors (X2,X1), pas d'autres cas possibles
    et donc dans tous les par indépendance et le fait que mes Xi ont même loi j'ai fU=f² bien que cela me semble un peu trop simple
  • Poirot
    Poirot
    Pour la $3)$, oui c'est ça. Il faudrait tout de même que tu prouves qu'elles sont mesurables... ;-)

    Pour la $4)$ c'est n'importe quoi. Il faut que tu calcules explicitement $\mathbb E(\varphi(U))$. Je t'aide, ça vaut $$\int_{\Omega} \varphi(U) d\mathbb P.$$ Il te reste à découper l'intégrale et utiliser que $X_1$ et $X_2$ sont iid.
  • s30
    s30
    Pour la mesurabilité ne suffit-il pas de dire que K-1(i)={(X1,...,Xn) tel que pour tout j Xj vecteur aléatoire et que Xi=min(X1,...,Xn} ce qui appartient bien à l'ensemble de départ?

    J'ai essayé de découper mon intégrale en deux par rapport au fait que le min(X1,X2)=X1 ou à X2 et j'ai fini par trouver fU(x1,x2)=f(x1)*f(x2). A défaut d'être capable d'écrire le raisonnement en latex j'ai joint une photo64480
  • Poirot
    Poirot
    Bon, déjà tu n'exposes pas assez les arguments pour passer d'une égalité à l'autre (théorème de transfert, indépendance, changement de variables). Ensuite il y a un problème, que se passe-t-il sur l'ensemble $\{X_1=X_2\}$ ? Il faut être plus précis dans ce que tu fais !
  • s30
    s30
    C'est vrai que j'ai tendance à ne pas expliquer ce que je fais et ce que j'utilise

    Concernant l'ensemble {X1=X2} j'ai l'impression de l'avoir inclus dans les deux intégrales. Si au niveau de l'indicatrice de la première intégrale je laisse tel quel et qu'à l'indicatrice de la deuxième intégrale je rajoute inter X1 différent de X2 cela corrige-t-il le problème?
  • Poirot
    Poirot
    Et bien ça justifierais la première égalité, mais tu ne vas pas te trimbaler la condition $x_1 \not = x_2$ partout, il faut que tu trouves un moyen de t'en débarrasser.
  • s30
    s30
    C'est vraiment nécessaire de m'en débarrasser? J'ai l'impression que l'écriture serait un plus sale mais que ça n'apporte pas de contradiction par la suite.
    Par contre tu as écris x1 différent de x2 mais c'est pas plutôt avec des grands X?
  • Poirot
    Poirot
    Ça peut aussi être avec les grands $X$, je disais ça car il est plus facile de se débarrasser de la condition $x_1 \not = x_2$ dans le cas des petits $x$ (mais on peut s'en sortir aussi avec les grands, c'est juste un peu plus technique). Si ça peut t'aider, tes égalités sont en fait vraies, mais il faut le justifier :-)
  • s30
    s30
    Sincèrement j'ai beau regarder je n'ai aucune idée de comment le justifier, ni même de pourquoi la justification est nécessaire ( à part peut être la continuité du vecteur).

    J'ai une question supplémentaire qui concerne l'exercice sur le haut de la photo de l'énoncé:
    On sait de plus que X est continu et sa densité paire
    A la question 3 on nous demande la fonction de répartition de (X,-X) que j'ai trouvé égale à FU(x1,x2)= F(x1)-F(-x2)
    C'est la question 4 qui pose problème. On demande la continuité de U: je dirais que FU est continûment différentiable ( car F dérivable) donc U est continu
    Mais ensuite pour la densité il faut que je dérive par rapport à x1 ce qui donne f(x1) puis x2 ça me donne 0 ce qui n'a aucun sens. donc je sais que j'ai fait une erreur mais je sais pas si c'est au niveau de la continuité de U ou du calcul de la densité
  • Poirot
    Poirot
    Pour l'histoire du $x_1 \not = x_2$, peux-tu donner $\lambda_2(\{(x,x), x \in \mathbb R\})$, où $\lambda_2$ désigne la mesure de Lebesgue sur $\mathbb R^2$ ? Il faut se poser ce genre de question car en l'état, ta première égalité est fausse sans cette justification car tu comptes deux fois l'ensemble $\{X_1=X_2\}$ dans ton intégrale.

    Pour ton autre exercice, je ne suis pas d'accord avec ta densité : ce que tu as écrit peut prendre des valeurs négatives... Pense à bien utiliser l'hypothèse sur la densité de $X$, et ce que cela implique au niveau des probabilités portant sur $-X$.
  • s30
    s30
    Pour la mesure de Lebesque de l'ensemble des (x,x) je dirais que cela est nul car c'est l'aire d'une droite ce qui me permettrait d'éliminer l'intégrale sur {x1=x2}par continuité de U et donc le fait que l'on compte 2 fois {X1=X2} n'a plus d'importance

    Pour l'autre question j'ai deux raisonnements différents:
    Le premier qui me semble juste même si je vois bien qu'il y a un problème, surtout pour la question suivant.

    Pour le deuxième ma justification (X et -X ont même loi) me semble un peu bancale car P(X <= x) = P(-X <= x) mais mes événements ne sont pas égaux et du coup ce que j'ai écris en noir sur la photo est inutile.64508
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  • Poirot
    Poirot
    Ton premier raisonnement est faux car tu n'as aucune raison de penser que $-x_2 \leq x_1$ !

    Ensuite pour le second, en effet le fait que la densité de $X$ est paire implique que la loi de $X$ est symétrique, i.e. $-X$ a la même loi. Et tu as bien vu que tu avais un problème, tu ne peux pas remplacer $-X$ par $X$ dans cet événement.
  • s30
    s30
    Pour le premier raisonnement j'ai pensé à mettre une indicatrice de -x2<=x1 en facteur de ce que j'ai trouvé car X ne peut être à la fois supérieur à -x2 et inférieur à x1 si ce n'est pas le cas. Mais cela ^pose toujours problème pour la question 4 et je n'ai pas utilisé l'hypothèse sur les lois de X et -X
    Faut-il que je persiste sur le premier raisonnement ou est ce que c'est une fausse piste?

    Mon raisonnement sur la mesure de Lebesgue de l'ensemble des (x,x) est-il juste?
  • Poirot
    Poirot
    Et bien ce n'est pas une démonstration mais l'idée est là oui, on a bien $\lambda_2(\{(x,x), x \in \mathbb R\})=0$. Si tu veux le démontrer rigoureusement, tu peux découper cet ensemble sous la forme $\bigcup_{n \in \mathbb Z} \{(x,x), x \in [n, n+1[\}$ par exemple, et montrer que ces ensembles se trouvent dans l'intersection de boréliens de mesures tendant vers $0$ (en faisant un dessin c'est clair !).

    En rajoutant une indicatrice, ça marche, mais comme tu l'as dit on n'a pas utilisé la symétrie de la loi de $X$. Au passage pour dire que $\mathbb P(-x_2 \leq X \leq x_1) = F(x_1) - F(-x_2)$, tu utilises de nouveau que $X$ est continue ! (elle ne charge pas le singleton $\{-x_2\}$.

    Pour la densité, tu affirmes qu'elle est donnée par la dérivée partielle seconde croisée de la fonction de répartition, es-tu sûr de ça ? Je ne connais pas la réponse mais j'ai des doutes, car le résultat qu'on a obtenu pour la fonction de répartition de $(X, -X)$ est valable pour n'importe quelle v.a. continue.
  • s30
    s30
    Je ne comprends pas ce que tu veux dire par elle ne charge pas le singleton {-x2}

    J'ai utilisé la parité de la densité et un changement de variable (x=-x) pour calculer F(-x2) et j'ai trouvé -S(x2)= F(x2)-1

    Non j'en suis pas sûr, c'est quelque chose que j'ai trouvé sur internet mais je ne vois pas d'autre méthode pour obtenir la densité à partir de la fonction de répartition
    J'ai donc cherché à montrer que U n'est pas continu en contredisant l'absolu continuité par rapport à la mesure de Lebesgue ce qui n'a rien donné pour l'instant
  • Poirot
    Poirot
    $X$ ne charge pas le singleton veut dire $\mathbb P(X=-x_2)$ (plus précisément c'est la loi de $X$ qui ne charge pas $\{-x_2\}$, ce n'est pas un atome pour cette loi). Et tu as besoin de dire ça pour dire que (sous l'hypothèse que $-x_2 \leq x_1$) $\mathbb P(-x_2 \leq X \leq x_1) = F(x_1)-F(-x_2)$, car cette dernière quantité vaut $\mathbb P(-x_2 < X \leq x_1)$.
  • s30
    s30
    Pourrais-je avoir un indice pour la question 4?
  • Poirot
    Poirot
    Bon, je pense que de toute façon, si $X$ est un v.a. continue alors $(X, -X)$ n'est jamais continue. Je te laisse chercher pourquoi, dans le même esprit que ce qu'on a fait pour l'autre exercice. Ce que je trouve étrange c'est qu'on n'a pas utilisé la symétrie de la loi de $X$ (hormis dans la question $2$, et peut-être la $1$ que je ne peux pas voir).

    Au passage, la symétrie implique quand même quelque chose sur la fonction de répartition, et donc permet de donner une réponse un peu différente à la $3$.
  • s30
    s30
    Le forum m'affiche un message d'erreur lorsque j'envoie un message avec des signes mathematiques. Je vais essayer de voir ça
  • s30
    s30
    (X,-X) est sur la droite y=-x dont la mesure de Lebesgue est nulle. Or si U était continu alors la proba d'être sur cette droite est nulle ce qui est absurde.

    Pour la fonction de rpartition j'ai transformé F(x1)-F(-x2) en F(x1)+F(x2) -1.

    La symétrie est également utilisée car il faut montrer que X et -X ont même loi( f-X(x)=fX(-x)=fX(x))
  • Poirot
    Poirot
    C'est ça !
  • s30
    s30
    Merci Poirot tu m'as été d'une grande aide (encore) :-)
  • Poirot
    Poirot
    Je fais de mon mieux, j'ai appris des choses aussi ;-)
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