Sous-variétés différentiables

Bus
Bus
dans Topologie
Bonjour,

Je fais un peu de topologie et calcul différentiel (niveau débutant), et j'ai du mal à assimiler le concept de sous-variétés différentielles. Je cite la définition que j'ai trouvée :

On dit que $M \subset \mathbb{R}^n$ est une sous-variété de $\mathbb{R}^n$ de dimension $p$ si pour tout $a \in M$ il existe un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^n$ contenant $a$ et une application $F$ de classe $C^{\infty}$ de $U$ dans $\mathbb{R}^{n-p}$ telle que $d_aF$ est de rang $n-p$ et $M \cap U = \{x \in U | F(x) = 0\}$.

Donc si chaque point de $M$ a un voisinage, avec une certaine application $F$...

J'ai un exercice introductif dans lequel je dois dire si certains ensembles sont des sous-variétés différentielles. Par exemple, $\mathbb{R}^n \cap \{ (x_1,...x_n) : x_1^2 + x_2^3 + ... + x_n^{n+1} = 1 \}$ (dans $\mathbb{R}^n$) ou encore $\mathbb{R}^2 \cap \{(x,y) : xy = 0 \}$ (dans $\mathbb{R}^2$).
Ma faible compréhension de la définition m'empêche de l'appliquer pour faire ces exemples. Ça ne doit pas être ultra compliqué mais est-ce que quelqu'un pourrait m'aider (m'expliquer de façon plus "concise" la définition ?) Merci beaucoup par avance

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $F=0$ est une équation (locale, au voisinage de $a$) de la sous-variété $M$ - ou plutôt un système de $n-p$ équations puisque $F$ est à valeurs dans $\R^{n-p}$.
    Dans ton premier exemple, tu as une équation $x_1^2 + x_2^3 + ... + x_n^{n+1} - 1 =0$. Est-ce qu'elle ne ferait pas l'affaire ? (Il y a une condition à vérifier en chaque point de l'ensemble décrit par cette équation).
  • Algèbre
    Algèbre
    D'une manière générale si tu as une pré-image $f^{-1}(\{0\})$ par un point dont tous les éléments de la pré-image sont tels que $df$ en ces points est surjective alors c'est une sous-variété.

    Sinon tu peux avoir des choses bizarres qui se passent comme des croisements qui n'en font pas une sous-variété.
  • Bus
    Bus
    Merci à vous ! Donc le premier exemple est une sous-variété tandis que le deuxième n'en est pas une :)
  • Bus
    Bus
    J'en profite pour venir vous demander de l'aide.

    $A = \mathbb{R}^3 \cap \{ (x,y,z) : x^2 + z^2 = 1 \}$ et $ B = \mathbb{R}^3 \cap \{(x,y,z) : y^2 + z^2 = 1\}$.
    On doit prouver que ces deux sous-ensembles sont des sous-variétés différentielles de dimension 2.

    Soit le vecteur w = (x,y,z).
    On note $f(w) = f(x,y,z) = x^2 + z^2 - 1$.
    A est une sous-variété différentielle lorsque $df_w \neq 0$, donc si $(2x,0,2z) \neq 0$ ce qui n'a pas de sens.
    Par contre, en dimension 2, si on considère seulement $x$ et $z$... A est une sous-variété différentielle de dimension 2 si $(2x,2z) \neq 0$. On sait que les deux (x et z) ne peuvent être simultanément nuls puisque $x^2 + z^2 = 1$ mais un seul (x ou z) pourrait très bien l'être, non ? Donc comment affirmer le résultat souhaité ?
  • Poirot
    Poirot
    Bon tu as visiblement un problème avec la notion de différentielle d'une application différentiable. Dire que $df_w \not = 0$ est un abus de notation pour dire que $df_w$ n'est pas la forme linéaire nulle. Ses coordonnées dans la base canonique des formes linéaires de $\mathbb R^3$ sont $2x, 0$ et $2z$. Ainsi cette forme linéaire n'est nulle qu'en des $w$ pour lesquels $x=z=0$, mais aucun point de $A$ ne vérifie ceci, donc finalement $A$ est bien une sous-variété différentielle, et elle est de dimension $2$ car le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.
  • Bus
    Bus
    Merci !
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