Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange.

Bonsoir, je suis étudiant en L3 Maths et je vais au rattrapage...
Je suis donc en train de refaire un exercice de l'examen de Calcul Différentiel de juin 2017.

$\textrm{Dans tout l'exercice, }E\textrm{ et }F\textrm{ sont des espaces vectoriels de dimension finies }(\dim E=n\textrm{, }\dim F=m)\textrm{, et}\\\Omega\textrm{ est un ouvert de }E.$


$\textrm{A.}\qquad\textrm{Soit }g:\Omega\subset E\rightarrow F\textrm{ une application }C^1\textrm{, }a\in\Omega\textrm{ et }b\in F\textrm{. On pose }M=g^{-1}(\{b\})\textrm{. On suppose}\\\textrm{que }a\in M\textrm{ et que d}g(a)\textrm{ est surjective. On note }E_1=\ker\textrm{d}g(a)\textrm{ et soit }E_2\textrm{ un supplémentaire de }E_1\textrm{ :}\\E=E_1\oplus E_2.$

$\qquad1.\quad\textrm{Montrer que d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).$

$\qquad\qquad\textrm{On a }\ker\textrm{d}g(a)_{|E_2}=E_2\cap\ker\textrm{d}g(a)=\{0\}\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}:E_2\rightarrow F\textrm{ est injective. De plus}$
$\qquad\qquad\textrm{d}g(a)_{|E_2}=\textrm{d}g(a)(E_2)=\textrm{d}g(a)(E_2+\ker\textrm{d}g(a))=\textrm{d}g(a)(E)=F\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}\textrm{ est surjective.}$
$\qquad\qquad\textrm{Ainsi d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).$

$\qquad2.\quad\textrm{Montrer qu'il existe }\Omega_1\textrm{ et }\Omega_2\textrm{ des voisinages ouverts de }0\textrm{ dans }E_1\textrm{ et }E_2\textrm{ respectivement, tels que}$
$\qquad\qquad a+\Omega_1+\Omega_2\subset\Omega.$

Et là, je suis complètement paumé...

Pourriez-vous m'aider svp ?