Topologie d'un ensemble de matrices

Bonjour,

Je bloque sur l'énoncé suivant :

On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb C)$ d'une norme quelconque $\Vert \cdot \Vert$. On dit qu'une famille $(A_1, \ldots, A_k)$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb C)$ est \textit{approximativement simultanément diagonalisable} (a.s.d) si pour tout $\varepsilon >0$ il existe des matrices $B_1, \ldots, B_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb C)$ simultanément diagonalisables et telles que pour tout $i$ $$\Vert A_i -B_i \Vert \leq \varepsilon.$$

Quelles sont les propriétés topologiques de l'ensemble $X_k$ des $k$-uplets de matrices a.s.d de $\mathcal{M}_n(\mathbb C)$ (ouverture, fermeture, connexité par arcs) ?

J'ai beaucoup de mal à me saisir de cette notion de matrices a.s.d. Dans le cas de 1-uplets, l'étude revient à montrer la densité de l'ensemble des matrices diagonalisables sur $\mathbb C$. Néanmoins dans le cas général je ne parviens pas à beaucoup avancer. Par exemple je ne parviens pas à construire un $k$-uplet non asd, ce qui est bien contraignant...

Voilà, merci d'avance pour votre aide et vos indications, bonne soirée !