Pourquoi est-ce un fermé ?

Bus
Bus
dans Topologie
Bonjour

Soit $E = C([0,1],\mathbb{R})$ l'espace vectoriel formé des fonctions continues $[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$.
Pour tout $f \in E$, on note $||f||_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$ et $||f(t)||_1 = \int_0^1 |f(t)| dt$.

On considère maintenant $A = \{f \in E \mid f(0)=0 \text{ et } \int_0^1 f(t)dt \geq 1 \}$. Je dois montrer que $A$ est une partie fermée de $E$ muni de $||.||_{\infty}$ mais qu'elle n'est pas une partie fermée de $E$ muni de $||.||_1$.

Avez-vous une idée ? Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    La méthode est claire ! Ton ensemble est défini par des "conditions fermées" (égalité et inégalité large). Il te suffit de montrer que $f \mapsto f(0)$ et $f \mapsto \int_0^1 f(t) dt$ sont continues quand tu munis ton espace de la norme uniforme.
  • Bus
    Bus
    En fait, j'ai beaucoup de mal à voir comment intervient la norme dans la question...
  • Dom
    Dom
    D'après le message de @Poirot, c'est dans la définition de la continuité que la norme intervient.

    Écrire la définition de la continuité avec les quantificateurs et $\epsilon$, $\delta$ devrait aider.
  • Bus
    Bus
    Ah oui, je vois, donc il va falloir écrire :

    $(\forall \epsilon > 0) (\exists \alpha > 0) (\forall x, ||x-a||_{\infty} < \alpha \rightarrow ||f(x)-f(a)||_{\infty} < \epsilon)$ en évaluant la continuité de $f(0)$ et de $\int_0^1 f(t) dt$.
  • MoebiusCorzer
    MoebiusCorzer
    Tu as deux fonctions $\mathcal{E}_{0}:C([0,1],\Bbb R)\to\Bbb R: f\mapsto f(0)$ (évaluation en $0$) et $\mathcal{I}:C([0,1],\Bbb R):f\mapsto \int_{0}^{1}f(t)dt$. Supposons que $\mathcal{E}_{0}$ et $\mathcal{I}$ soient continues pour la norme $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$. Comme ton ensemble $A$ s'écrit \[A=\mathcal{E}_{0}^{-1}(\{0\})\cap \mathcal{I}^{-1}([1,+\infty))\] autrement dit : $A$ est l'intersection des préimages de fermés ($\{0\}$ et $[1,+\infty)$ sont fermés dans $\Bbb R$) par des applications continues, tu sais que $A$ est l'intersection de deux fermés, donc $A$ est un fermé.

    C'est ce résultat que Dom et Poirot te conseillent d'utiliser. Tu te demandes en quoi la norme a une importance ? Prends une suite $(f_{n})_{n}$ qui converge vers une fonction $f$ pour la norme $\Vert\cdot\Vert_{\infty}$. Que dois-tu montrer pour prouver que $\mathcal{E}_{0}$ et $\mathcal{I}$ sont continues ? Pour la seconde part, un contre-exemple devrait suffire. Que dois-tu trouver pour montrer qu'un ensemble n'est pas fermé ?
  • Bus
    Bus
    En fait j'ai simplement du mal à visualiser la convergence / continuité par rapport à une norme (que ce soit $||.||_{\infty}$ ou $||.||_1$)... Je sais que ça fait cas désespéré mais je ne comprends pas. Je me mélange peut-être mais je bloque vraiment.

    Sinon, il faut trouver une suite convergente $(f_n)$ de $A$ de limite $a$, et si $a \notin A$, $A$ n'est pas fermé.
  • remarque
    remarque
    La convergence pour la norme infinie, c'est juste la convergence uniforme. Ca se visualise.
  • Bus
    Bus
    Ah oui... Merci !
  • christophe c
    christophe c
    Précisément, si $||f-g||\leq e>0$ alors la différence entre $\int_0^a f$ et $\int_0^a g$ est majorée par $|a\times e|$ (et $|f(b)-g(b)|$ est majoré par $e$ lui-même.

    Vois-tu pourquoi ce n'est pas la même chose pour la norme $f\mapsto \int |f(x)|dx$?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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