Groupe topologique
Réponses
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Bonjour,
Je dirais que non : un groupe topologique est un espace homogène, au sens où toute paire de points est échangée par un homéomorphisme. Autrement dit, $G$ vérifie les mêmes propriétés en tout point. Au contraire, si $E$ possède deux points que l'on peut distinguer topologiquement, tu ne pourras pas plonger $E$ dans un groupe topologique. Prendre quelque chose comme $\{ 1, 2\}$ avec la topologie $\{ \emptyset, \{ 1 \}, \{1,2 \} \}$ devrait donner un contre-exemple il me semble. -
Merci pour le contre-exemple.
Dans le cas où $E$ est séparé, est-ce qu'il y a aussi des contre-exemples ?
En effet, $E=\{0\} \cup \{1/n ~|~n \in \N^*\}$ peut être plongé dans $\R$ par exemple. -
Je crois me souvenir qu'un groupe topologique qui est Hausdorff vérifie automatiquement un axiome de séparabilité plus fort, donc il doit y avoir moyen de bidouiller un contre-exemple en utilisant cette propriété. Je vais voir si je peux retrouver un énoncé précis.
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De mon téléphone : oui même dans le cas séparé on a des contre exemples. Un groupe top[ologique] ayant une topologie uniformisable.
Par contre on peut poser la question avec espace uniformisable et tel que deux points quelconques sont indiscernables topologiquementAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Tout espace uniforme séparé est homéomorphe à un sous-ensemble de $[0,1]^I$ pour un certain ensemble $I$, qui est lui-même homéomorphe à une partie de $\R^I$ (ces espaces sont bien sûr munis de la topologie produit).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Merci !
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Bonjour!
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