Groupe topologique

Bonjour,

Je dirais que non : un groupe topologique est un espace homogène, au sens où toute paire de points est échangée par un homéomorphisme. Autrement dit, $G$ vérifie les mêmes propriétés en tout point. Au contraire, si $E$ possède deux points que l'on peut distinguer topologiquement, tu ne pourras pas plonger $E$ dans un groupe topologique. Prendre quelque chose comme $\{ 1, 2\}$ avec la topologie $\{ \emptyset, \{ 1 \}, \{1,2 \} \}$ devrait donner un contre-exemple il me semble.

Je crois me souvenir qu'un groupe topologique qui est Hausdorff vérifie automatiquement un axiome de séparabilité plus fort, donc il doit y avoir moyen de bidouiller un contre-exemple en utilisant cette propriété. Je vais voir si je peux retrouver un énoncé précis.

Tout espace uniforme séparé est homéomorphe à un sous-ensemble de $[0,1]^I$ pour un certain ensemble $I$, qui est lui-même homéomorphe à une partie de $\R^I$ (ces espaces sont bien sûr munis de la topologie produit).